Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Возводим обе части в квадрат: x + 3 = 5 − x, поэтому x = 1. Проверка проходит.
ОДЗ: −1 ≤ x ≤ 1. После возведения в квадрат: 1 − x = (x + 1)², откуда x(x + 3) = 0. Из корней 0 и −3 ОДЗ удовлетворяет только 0.
Правая часть должна быть неотрицательной, значит x ≥ 1. Квадрат обеих частей даёт x + 11 = (x − 1)², то есть (x − 5)(x + 2) = 0. Подходит x = 5.
Квадрат обеих частей: x² + x + 4 = 16, или (x + 4)(x − 3) = 0. Оба корня допустимы: x = −4, 3.
Положим t = √x, t ≥ 0. Тогда √(2t² + 1) = t + 1; после возведения в квадрат t² − 2t = 0. Получаем t = 0 или 2, поэтому x = 0 или 4. Оба значения проверяются.
Пусть a = √(5 − x), b = √(5 + x). Имеем a − b = 2, а (a − b)(a + b) = −2x, поэтому a + b = −x. Отсюда b = −1 − x/2. Условие b ≥ 0 оставляет x ≤ −2. Из b² = 5 + x получаем x² = 16; подходит только x = −4. Проверка: 3 − 1 = 2.
Пусть a = √(x − 2), b = √(x + 6). Тогда a + b = 4 и (b − a)(b + a) = 8, значит b − a = 2. Следовательно, a = 1, откуда x − 2 = 1 и x = 3.
Положим a = √(2x + 5), b = √(x + 6). Из a − b = 1 следует a + b = x − 1, поэтому x ≥ 1. Тогда b = (x − 2)/2; из b² = x + 6 получаем (x − 2)² = 4x + 24, то есть (x − 10)(x + 2) = 0. Подходит x = 10.
ОДЗ: x ≥ 2/3. Обозначим корни слева через a и b, а справа через c. Из a − b = c следует a² + b² − c² = 2ab. Подстановка даёт 4x − 2 = 2√((5x − 3)(2x − 1)). После возведения в квадрат и упрощения: (2x − 1)(3x − 2) = 0. По ОДЗ остаётся x = 2/3; подстановка подтверждает равенство.
Возводим в куб: x³ − 7 = 1, значит x³ = 8 и x = 2.
Левая часть неотрицательна, поэтому x ≥ 0. Возведение в четвёртую степень даёт x⁴ − 17x² + 16 = 0. При y = x²: (y − 1)(y − 16) = 0. С учётом x ≥ 0 получаем x = 1 и x = 4.
12. Область определения и неотрицательность правой части дают 0 ≤ x ≤ √6. График √x возрастает, а график 6 − x² убывает. На концах промежутка графики находятся по разные стороны друг от друга, поэтому пересечение ровно одно.
13. При x ≥ −1 графики √(x + 1) и (x − 1)² пересекаются дважды. Например, при x = 0 первый график выше второго, а при x = 1 и x = 2 — ниже; при больших x квадратная функция снова становится выше корня. Единственность каждого из двух пересечений следует также из замены t = √(x + 1): уравнение становится t⁴ − 4t² − t + 4 = 0 при t ≥ 0; график этой функции сначала убывает, затем возрастает и пересекает ось дважды. Уравнение имеет 2 корня.
14. При x ≥ 1 график x³ − 2 начинается ниже графика √(x − 1), а, например, при x = 2 расположен выше. Разность x³ − 2 − √(x − 1) сначала убывает, затем возрастает и после своего минимума пересекает ноль ровно один раз. Уравнение имеет 1 корень.
Ответ: 1) 1; 2) 0; 3) 5; 4) −4, 3; 5) 0, 4; 6) −4; 7) 3; 8) 10; 9) 2/3; 10) 2; 11) 1, 4. В уравнениях 12–14 соответственно 1, 2 и 1 корень.
