Вариант I. Решите уравнения: 1) $\log_4\frac{1}{x^2}+\log_4\sqrt{x}=-3$; 2) $\lg(10x)\cdot\lg(0{,}1x)=3$; 3) $\log_{2{,}5}(2x-3)-\frac12\log_{2{,}5}(2x+3)=0$; 4) $\log_2(x^2-3x+10)=3$; 5) $(\log_3x)^2-\log_3x=2$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Вариант I. Решите уравнения: 1) $\log_4\frac{1}{x^2}+\log_4\sqrt{x}=-3$; 2) $\lg(10x)\cdot\lg(0{,}1x)=3$; 3)…$ Фото задания

Accepted Answer

Область допустимых значений: $x>0$. Пусть $t=\log_4x$. Тогда $-2t+\frac12t=-3$, откуда $t=2$, поэтому $x=4^2=16$.
Пусть $t=\lg x$, где $x>0$. Тогда $(t+1)(t-1)=3$, то есть $t^2=4$. Следовательно, $t=2$ или $t=-2$, и $x=100$ или $x=0{,}01$.
ОДЗ: $x>\frac32$. По свойствам логарифмов $\log_{2{,}5}\frac{2x-3}{\sqrt{2x+3}}=0$, поэтому $2x-3=\sqrt{2x+3}$. Возводим в квадрат: $4x^2-14x+6=0$, откуда $x=3$ или $x=\frac12$. ОДЗ удовлетворяет только $x=3$.
$x^2-3x+10=2^3=8$, поэтому $x^2-3x+2=0$, или $(x-1)(x-2)=0$. Оба корня дают положительный аргумент логарифма: $x=1,2$.
Пусть $t=\log_3x$, где $x>0$. Тогда $t^2-t=2$, то есть $(t-2)(t+1)=0$. Получаем $t=2$ или $t=-1$, следовательно, $x=9$ или $x=\frac13$.

Ответ: 1) 16; 2) 100, 0,01; 3) 3; 4) 1, 2; 5) 9, 1/3.

Вариант I. Решите уравнения: 1) \(\log_4\frac{1}{x^2}+\log_4\sqrt{x}=-3\); 2) \(\lg(10x)\cdot\lg(0{,}1x)=3\); 3) \(\log_{2{,}5}(2x-3)-\frac12\log_{2{,}5}(2x+3)=0\); 4) \(\log_2(x^2-3x+10)=3\); 5) \((\log_3x)^2-\log_3x=2\).