Вариант І 1. Рис. 3.26. Параллельны ли прямые а и в, если: а) ∠1 = ∠3; б) ∠1 = ∠4; в) ∠1+∠2=180°; г) ∠5 = ∠6 = 90°; д) ∠1 = ∠2. 2. Рис. 3.27. Дано: △ ABC = △ CDE; BC=DE. Доказать: AB || CD. Вариант ІІ 1. Рис. 3.28. Параллельны ли прямые а и b, если: а) ∠1 = ∠2=90°; б) ∠3 = ∠4; в) ∠4 = ∠5; г) ∠6 = ∠4; д) ∠4 + ∠6 = 180°. 2. Рис. 3.29. Дано: △ ABD = △ ECF, AD = CF. Доказать: AB || EF.

Решение:

Вариант I

1. На рисунке 3.26:

а) Если ∠1 = ∠3, то прямые a и b параллельны, так как это соответственные углы, образованные при пересечении прямых a и b секущей, и их равенство является признаком параллельности прямых (соответственные углы равны).

б) Если ∠1 = ∠4, то прямые a и b параллельны, так как это накрест лежащие углы, образованные при пересечении прямых a и b секущей, и их равенство является признаком параллельности прямых (накрест лежащие углы равны).

в) Если ∠1 + ∠2 = 180°, то прямые a и b параллельны, так как это односторонние углы, образованные при пересечении прямых a и b секущей, и их сумма равна 180°, что является признаком параллельности прямых (сумма односторонних углов равна 180°).

г) Если ∠5 = ∠6 = 90°, то прямые a и b параллельны, так как прямые a и b перпендикулярны одной и той же секущей, а значит, они параллельны.

д) Если ∠1 = ∠2, то равенство этих углов не дает информации о параллельности прямых a и b.

2. На рисунке 3.27:

Дано: △ABC = △CDE; BC = DE.

Доказать: AB || CD.

Доказательство:

Так как △ABC = △CDE, то ∠BCA = ∠DEC как соответственные углы равных треугольников.

Поскольку BC = DE (дано), то треугольники ABC и CDE равны по двум сторонам и углу между ними.

Следовательно, ∠ABC = ∠CDE как соответственные углы.

Таким образом, ∠ABC = ∠CDE, и эти углы являются накрест лежащими при прямых AB и CD и секущей, проходящей через точки B и D.

Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, AB || CD.

Вариант II

1. На рисунке 3.28:

а) Если ∠1 = ∠2 = 90°, то прямые a и b параллельны, так как они обе перпендикулярны к одной и той же секущей, а значит, параллельны между собой.

б) Если ∠3 = ∠4, то прямые a и b параллельны, так как это соответственные углы, образованные при пересечении прямых a и b секущей, и их равенство является признаком параллельности прямых (соответственные углы равны).

в) Если ∠4 = ∠5, то прямые a и b параллельны, так как это накрест лежащие углы, образованные при пересечении прямых a и b секущей, и их равенство является признаком параллельности прямых (накрест лежащие углы равны).

г) Если ∠6 = ∠4, то соответственные углы 6 и 4 равны, следовательно, прямые а и b параллельны.

д) Если ∠4 + ∠6 = 180°, то прямые a и b параллельны, так как углы 4 и 6 – односторонние при прямых a и b и секущей. Сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

2. На рисунке 3.29:

Дано: △ABD = △ECF, AD = CF.

Доказать: AB || EF.

Доказательство:

Поскольку △ABD = △ECF, то ∠ADB = ∠EFC как соответственные углы равных треугольников.

Поскольку AD = CF (дано), то можно утверждать, что треугольники ABD и ECF равны по двум сторонам и углу между ними.

Следовательно, ∠BAD = ∠CEF как соответственные углы.

Таким образом, ∠BAD = ∠CEF, и эти углы являются соответственными при прямых AB и EF и секущей, проходящей через точки A и E.

Если соответственные углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, AB || EF.

Ответ: доказано, что прямые AB || CD в первом варианте и AB || EF во втором.