Вариант І 1. Упростите выражение: a) sin²a + cos² a + tg² a; 6) tga ctg a + 1; B) sin a + tg a 1+cosa 2. Докажите тождество: a) cos a = sin a ctg a; б) 1+tga 1 + ctga = tg a; B) tg2a - sin²a = tg²a sin²α. 3. Докажите, что при любых допустимых значениях ф значение выражения не зависит от ф 1 + tgp + tg²φ 1 + ctgp + ctg24 - tg q

1. Упростите выражение:

a) \( sin^2 \alpha + cos^2 \alpha + tg^2 \alpha = 1 + tg^2 \alpha = \frac{1}{cos^2 \alpha} \)

б) \( tg \alpha \cdot ctg \alpha + 1 = 1 + 1 = 2 \)

в) \( \frac{sin \alpha + tg \alpha}{1 + cos \alpha} = \frac{sin \alpha + \frac{sin \alpha}{cos \alpha}}{1 + cos \alpha} = \frac{sin \alpha \cdot (1 + \frac{1}{cos \alpha})}{1 + cos \alpha} = \frac{sin \alpha \cdot (\frac{cos \alpha + 1}{cos \alpha})}{1 + cos \alpha} = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = tg \alpha \)

2. Докажите тождество:

a) \( cos \alpha = sin \alpha \cdot ctg \alpha \)

Преобразуем правую часть: \( sin \alpha \cdot ctg \alpha = sin \alpha \cdot \frac{cos \alpha}{sin \alpha} = cos \alpha \). Тождество доказано.

б) \( \frac{1 + tg \alpha}{1 + ctg \alpha} = tg \alpha \)

Преобразуем левую часть: \( \frac{1 + tg \alpha}{1 + ctg \alpha} = \frac{1 + \frac{sin \alpha}{cos \alpha}}{1 + \frac{cos \alpha}{sin \alpha}} = \frac{\frac{cos \alpha + sin \alpha}{cos \alpha}}{\frac{sin \alpha + cos \alpha}{sin \alpha}} = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = tg \alpha \). Тождество доказано.

в) \( tg^2 \alpha - sin^2 \alpha = tg^2 \alpha \cdot sin^2 \alpha \)

Преобразуем левую часть: \( tg^2 \alpha - sin^2 \alpha = \frac{sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha} - sin^2 \alpha = \frac{sin^2 \alpha - sin^2 \alpha \cdot cos^2 \alpha}{cos^2 \alpha} = \frac{sin^2 \alpha(1 - cos^2 \alpha)}{cos^2 \alpha} = \frac{sin^2 \alpha \cdot sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha} = tg^2 \alpha \cdot sin^2 \alpha \). Тождество доказано.

3. Докажите, что при любых допустимых значениях \( \varphi \) значение выражения не зависит от \( \varphi \)

Преобразуем выражение:

\( \frac{1 + tg \varphi + tg^2 \varphi}{1 + ctg \varphi + ctg^2 \varphi} - tg \varphi = \frac{1 + tg \varphi + tg^2 \varphi}{1 + \frac{1}{tg \varphi} + \frac{1}{tg^2 \varphi}} - tg \varphi = \frac{1 + tg \varphi + tg^2 \varphi}{\frac{tg^2 \varphi + tg \varphi + 1}{tg^2 \varphi}} - tg \varphi = tg^2 \varphi - tg \varphi \)

Выражение зависит от \( \varphi \), так как содержит \( tg \varphi \).