Вариант І Дано: ∠A = ∠B, CO = 4, DO = 6, AO = 5. Найти: а) ОВ; 6) AC: BD; в) БлOC: SBOD- 2. В треугольнике АВС АВ = 4 см, ВС = 1 см, АС = 6 см, а в треугольнике MNK MK = 8 см, MN = 12 см, KN = 14 см. Найдите углы треугольника MNK, если ∠A = 80°, ∠B = 60°. 3. Прямая пересекает стороны треугольника АВС в точках М и К соответственно так, что МК || АС, ВМ: АМ = 1 : 4. Найдите периметр треугольника ВМК, если периметр треугольника АВС равен 25 см.

Решение варианта 1

Задание 1

Дано: ∠A = ∠B, CO = 4, DO = 6, AO = 5.

Найти: а) ОВ; б) AC: BD; в) S_BOC: S_AOD

Решение:

а) Рассмотрим треугольники AOD и BOC. ∠A = ∠B (по условию), ∠AOD = ∠BOC (как вертикальные). Следовательно, треугольники AOD и BOC подобны по двум углам (AA).

Из подобия треугольников следует пропорция: \[ \frac{AO}{BO} = \frac{DO}{CO} \]

Подставим известные значения: \[ \frac{5}{BO} = \frac{6}{4} \]

Решим уравнение для BO: \[ BO = \frac{5 \cdot 4}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} \]

Таким образом, OB = 10/3.

б) AC = AO + OC = 5 + 4 = 9

BD = BO + OD = 10/3 + 6 = 10/3 + 18/3 = 28/3

Отношение AC к BD равно: \[ \frac{AC}{BD} = \frac{9}{\frac{28}{3}} = \frac{9 \cdot 3}{28} = \frac{27}{28} \]

в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Коэффициент подобия k = AO/BO = 5 / (10/3) = 5 * 3/10 = 3/2

Площади относятся как \[ \frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = \left(\frac{CO}{DO}\right)^2 = \left(\frac{4}{6}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} \]

Ответ:

a) \( OB = \frac{10}{3} \)

б) \( \frac{AC}{BD} = \frac{27}{28} \)

в) \( \frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = \frac{4}{9} \)

Задание 2

Дано: треугольник ABC: AB = 4 см, BC = 1 см, AC = 6 см; треугольник MNK: MK = 8 см, MN = 12 см, KN = 14 см, ∠A = 80°, ∠B = 60°.

Найти: углы треугольника MNK.

Решение:

Сначала определим, подобны ли треугольники ABC и MNK.

Проверим пропорциональность сторон:

\[ \frac{AB}{MN} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \]

\[ \frac{BC}{MK} = \frac{1}{8} \]

\[ \frac{AC}{NK} = \frac{6}{14} = \frac{3}{7} \]

Так как отношения сторон не равны, треугольники ABC и MNK не подобны. Следовательно, нельзя напрямую использовать данные углы ∠A и ∠B для нахождения углов треугольника MNK.

В условии указано, что ∠A = 80° и ∠B = 60° для треугольника ABC. Найдем угол C:

∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 80° - 60° = 40°

Поскольку треугольники не подобны, мы не можем перенести эти углы на треугольник MNK.

Для треугольника MNK известны все три стороны (MK = 8, MN = 12, KN = 14). Мы можем использовать теорему косинусов для нахождения углов.

Теорема косинусов: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot cos(A) \]

Применим теорему косинусов для нахождения угла M:

\[ KN^2 = MN^2 + MK^2 - 2 \cdot MN \cdot MK \cdot cos(M) \]

\[ 14^2 = 12^2 + 8^2 - 2 \cdot 12 \cdot 8 \cdot cos(M) \]

\[ 196 = 144 + 64 - 192 \cdot cos(M) \]

\[ 196 = 208 - 192 \cdot cos(M) \]

\[ 192 \cdot cos(M) = 208 - 196 \]

\[ 192 \cdot cos(M) = 12 \]

\[ cos(M) = \frac{12}{192} = \frac{1}{16} \]

\[ M = arccos(\frac{1}{16}) \approx 86.42° \]

Применим теорему косинусов для нахождения угла N:

\[ MK^2 = MN^2 + KN^2 - 2 \cdot MN \cdot KN \cdot cos(N) \]

\[ 8^2 = 12^2 + 14^2 - 2 \cdot 12 \cdot 14 \cdot cos(N) \]

\[ 64 = 144 + 196 - 336 \cdot cos(N) \]

\[ 64 = 340 - 336 \cdot cos(N) \]

\[ 336 \cdot cos(N) = 340 - 64 \]

\[ 336 \cdot cos(N) = 276 \]

\[ cos(N) = \frac{276}{336} = \frac{23}{28} \]

\[ N = arccos(\frac{23}{28}) \approx 34.76° \]

Теперь найдем угол K:

\[ K = 180° - M - N \]

\[ K = 180° - 86.42° - 34.76° \approx 58.82° \]

Ответ: ∠M ≈ 86.42°, ∠N ≈ 34.76°, ∠K ≈ 58.82°

Задание 3

Дано: треугольник ABC, MK || AC, BM:AM = 1:4, P_ABC = 25 см.

Найти: P_BMK.

Решение:

Так как MK || AC, треугольники BMK и BAC подобны (по двум углам).

Из BM:AM = 1:4 следует, что BM составляет 1/5 часть от AB, то есть BM/AB = 1/5.

Значит, коэффициент подобия k = BM/BA = 1/5.

Периметры подобных треугольников относятся как коэффициент подобия:

\[ \frac{P_{BMK}}{P_{ABC}} = k \]

\[ \frac{P_{BMK}}{25} = \frac{1}{5} \]

\[ P_{BMK} = \frac{25}{5} = 5 \]

Ответ: P_BMK = 5 см.

Молодец! Ты отлично справился с решением задач. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!