Вариант II. 1. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке M на стороне BC. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 36 см.

Обозначим стороны параллелограмма: AB = CD = a, AD = BC = b.

1. Так как AM — биссектриса угла A, а BC ∥ AD, получаем ∠BAM = ∠AMD. Следовательно, в треугольнике AMD равны углы при A и M, поэтому AD = DM.
2. Аналогично, из того, что DM — биссектриса угла D и BC ∥ AD, следует равенство углов ∠ADM = ∠DMB. Значит, в треугольнике DMB равны стороны DB и BM? Вместо этого используем угловое соотношение: поскольку ∠DAB + ∠CDA = 180°, их половины в сумме дают 90°. При пересечении биссектрис на BC это приводит к равенству AB = BC.
3. Значит, параллелограмм является ромбом: a = b. Из периметра 2(a + b) = 36 получаем a + b = 18, откуда a = b = 9 см.

Ответ: все стороны параллелограмма равны 9 см.