Вариант II. 1. Диагонали ромба KMNP пересекаются в точке O. Найдите углы треугольника KOM, если ∠MNP = 80°. 2. На стороне BC параллелограмма ABCD взята точка M так, что AB = BM. а) Докажите, что AM — биссектриса угла BAD. б) Найдите периметр параллелограмма, если CD = 8 см, CM = 4 см.

В ромбе противоположные углы равны, а соседние — дополнительные. Поэтому ∠K = ∠MNP = 80°, а ∠M = 100°. Диагональ KM биссектрисса углов K и M, а диагонали ромба перпендикулярны.

Значит, ∠OKM = 80° : 2 = 40°, ∠KMO = 100° : 2 = 50°, ∠KOM = 90°.

Ответ: углы треугольника KOM — 40°, 50° и 90°.

а) Так как AB = BM, треугольник ABM равнобедренный, поэтому ∠BAM = ∠AMB. Поскольку AD параллельна BC, а точки B, M, C лежат на одной прямой, ∠AMB = ∠MAD (накрест лежащие углы). Следовательно, ∠BAM = ∠MAD, значит, AM — биссектриса угла BAD.

б) В параллелограмме противоположные стороны равны: AB = CD = 8 см. По условию BM = AB = 8 см, поэтому BC = BM + CM = 8 + 4 = 12 см. Периметр равен 2(AB + BC) = 2(8 + 12) = 40 см.

Ответ: 40 см.