Вариант II. 1. Доказать равенство треугольников ABD и CBD, если AD = DC, углы ADB и CDB равны. 2. Отрезки CD и AB пересекаются в точке K так, что AK = KB, CK = KD. Доказать, что равны треугольники AKC и BKD. Найти AC, если BD = 5,6 см. 3. Одна сторона треугольника 43 см, вторая сторона на 18 см меньше первой, третья сторона в 2 раза больше второй. Найти периметр треугольника. 4. Одна сторона треугольника в 3 раза меньше второй и на 23 см меньше третьей. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 108 см.

1. В треугольниках ABD и CBD: AD = DC по условию, DB — общая сторона, ∠ADB = ∠CDB по условию. Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.

2. AK = KB и CK = KD по условию. ∠AKC = ∠BKD, так как это вертикальные углы. Поэтому треугольники AKC и BKD равны по двум сторонам и углу между ними. Соответствующие стороны AC и BD равны, значит, AC = 5,6 см.

3. Вторая сторона: 43 − 18 = 25 см. Третья сторона в 2 раза больше второй: 25 · 2 = 50 см. Периметр: 43 + 25 + 50 = 118 см. Однако эти длины не образуют треугольник: сумма двух меньших сторон 43 + 25 = 68 см меньше 50? Здесь 68 > 50, поэтому неравенство выполняется; но 43 + 50 > 25 и 25 + 50 > 43 также выполняются.

Ответ: 118 см.

4. Пусть первая сторона равна x см. Тогда вторая равна 3x см, а третья — x + 23 см. По периметру:

x + 3x + (x + 23) = 108;

5x + 23 = 108;

5x = 85;

x = 17.

Первая сторона — 17 см, вторая — 51 см, третья — 40 см. Проверка неравенства треугольника: 17 + 40 = 57 > 51, значит, треугольник существует.

Ответ: 17 см, 51 см и 40 см.