Вариант II. 1. Точка A не лежит в плоскости треугольника BCD. Точки P, R, S и T — середины отрезков AB, AD, CD и BC соответственно. а) Докажите, что PRST — параллелограмм. б) Найдите AC, если BD = 6 см, а периметр PRST равен 14 см.

а) В треугольнике ABD отрезок PR соединяет середины AB и AD, поэтому PR — средняя линия: PR ∥ BD и PR = BD/2.

В треугольнике BCD отрезок ST соединяет середины CD и BC, поэтому ST — средняя линия: ST ∥ BD и ST = BD/2. Следовательно, PR ∥ ST и PR = ST.

В треугольнике ACD отрезок RS — средняя линия, поэтому RS ∥ AC и RS = AC/2. В треугольнике ABC отрезок PT — средняя линия, поэтому PT ∥ AC и PT = AC/2. Следовательно, RS ∥ PT и RS = PT.

У четырёхугольника PRST обе пары противоположных сторон параллельны, значит, PRST — параллелограмм.

б) Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме длин двух соседних сторон:

\(14=2(PR+RS)=2\left(\frac{BD}{2}+\frac{AC}{2}\right)=BD+AC.\)

Подставим \(BD=6\) см: \(14=6+AC\), откуда \(AC=8\) см.

Ответ: AC = 8 см.