Вариант ІІ 1. Найдите общую длину всех рёбер правильной шестигранной призмы, если каждая сторона основания равна 5 см, а высота призмы — 10 см. 2. Ребро куба равно 6 см. Найдите длину пространственной диагонали куба. 3. Рассчитайте полную поверхность правильной треугольной призмы c основанием равнобедренного треугольника (стороны а = b = 5 см, основание с = 6 см) и высотой h = 10 см. 4. Параллелограмм, лежащий в основании правильной четырёхугольной призмы, имеет углы по 60 градусов и стороны 8 см и 10 см. Найдите площадь основания. 5. Правильный шестиугольник является основанием правильной призмы. Его сторона равна 4 см, а высота призмы — 10 см. Найдите периметр верхней грани. 6. Диагональ боковой грани правильной пятиугольной призмы равна 10 см, угол наклона боковой грани к основанию составляет 60°. Определите высоту призмы.

1. Шестигранная призма

У правильной шестигранной призмы 12 сторон основания и 6 боковых ребер (высот).

Сторона основания: 5 см, высота: 10 см.

Общая длина рёбер основания: 12 * 5 = 60 см

Общая длина боковых рёбер: 6 * 10 = 60 см

Общая длина всех рёбер: 60 + 60 = 120 см

Ответ: 120 см

2. Диагональ куба

Ребро куба: 6 см.

Пространственная диагональ куба (d) вычисляется по формуле: \[d = a\sqrt{3}\] где a - ребро куба.

Тогда \[d = 6\sqrt{3}\] см

Ответ: \[6\sqrt{3}\] см

3. Площадь поверхности треугольной призмы

Основание - равнобедренный треугольник со сторонами a = b = 5 см, c = 6 см и высотой h = 10 см.

Площадь боковой поверхности призмы: \[S_{бок} = P_{осн} \cdot h\] где \[P_{осн}\] - периметр основания.

Периметр основания: \[P_{осн} = 5 + 5 + 6 = 16\] см

Площадь боковой поверхности: \[S_{бок} = 16 \cdot 10 = 160\] см²

Площадь основания: \[S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c\] где \[h_c\] - высота, проведенная к основанию c.

Найдем высоту \[h_c\] основания, разделив основание пополам и воспользовавшись теоремой Пифагора: \[h_c = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\] см

Площадь основания: \[S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12\] см²

Полная площадь поверхности: \[S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 160 + 2 \cdot 12 = 160 + 24 = 184\] см²

Ответ: 184 см²

4. Площадь основания параллелограмма

Параллелограмм со сторонами 8 см и 10 см, угол между ними 60 градусов.

Площадь параллелограмма: \[S = a \cdot b \cdot sin(\alpha)\]

Тогда \[S = 8 \cdot 10 \cdot sin(60°) = 80 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 40\sqrt{3}\] см²

Ответ: \[40\sqrt{3}\] см²

5. Периметр верхней грани шестиугольной призмы

Правильный шестиугольник со стороной 4 см.

Периметр шестиугольника: \[P = 6 \cdot a = 6 \cdot 4 = 24\] см

Ответ: 24 см

6. Высота пятиугольной призмы

Диагональ боковой грани: 10 см, угол наклона боковой грани к основанию: 60 градусов.

Высота призмы (h) может быть найдена как \[h = d \cdot sin(\alpha)\] где d - диагональ боковой грани.

Тогда \[h = 10 \cdot sin(60°) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\] см

Ответ: \[5\sqrt{3}\] см