Вариант ІІ 1. Найдите угол между лучом ОВ и положительной полу- осью Ох, если В (3; 3). 2. Решите треугольник BCD, если ∠B=45°, ∠D=60°, ВС=√3 см. . 3. Найдите косинус угла А треугольника АВС, если А (3; 9), B (0; 6), C (4; 2).

Задание 1

Найдите угол между лучом OB и положительной полуосью Ox, если B(3; 3).

Координаты точки B (3; 3) говорят о том, что точка находится в первой четверти, и её координаты x и y равны. Это означает, что угол между лучом OB и осью Ox равен 45 градусам, так как прямая y = x делит первый координатный угол пополам.

Ответ: 45°

Задание 2

Решите треугольник BCD, если ∠B=45°, ∠D=60°, BC = √3 см.

1. Найдем угол C:

Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому ∠C = 180° - ∠B - ∠D = 180° - 45° - 60° = 75°.

2. Найдем сторону BD по теореме синусов:

\[\frac{BC}{\sin D} = \frac{BD}{\sin C}\]

\[BD = \frac{BC \cdot \sin C}{\sin D} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sin 75°}{\sin 60°}\]

Синус 75° можно найти как \(\sin(45° + 30°) = \sin 45° \cos 30° + \cos 45° \sin 30° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\)

\[BD = \frac{\sqrt{3} \cdot (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} \approx 1.93\] см.

3. Найдем сторону CD по теореме синусов:

\[\frac{BC}{\sin D} = \frac{CD}{\sin B}\]

\[CD = \frac{BC \cdot \sin B}{\sin D} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sin 45°}{\sin 60°} = \frac{\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{2} \approx 1.41\] см.

Ответ: ∠C = 75°, BD ≈ 1.93 см, CD ≈ 1.41 см.

Задание 3

Найдите косинус угла A треугольника ABC, если A(3; 9), B(0; 6), C(4; 2).

1. Найдем длины сторон треугольника:

\[AB = \sqrt{(3-0)^2 + (9-6)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\]

\[AC = \sqrt{(3-4)^2 + (9-2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\]

\[BC = \sqrt{(0-4)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\]

2. Применим теорему косинусов для угла A:

\[BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A\]

\[(4\sqrt{2})^2 = (3\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2 - 2 \cdot (3\sqrt{2}) \cdot (5\sqrt{2}) \cdot \cos A\]

\[32 = 18 + 50 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 2 \cdot \cos A\]

\[32 = 68 - 60 \cdot \cos A\]

\[60 \cdot \cos A = 68 - 32\]

\[60 \cdot \cos A = 36\]

\[\cos A = \frac{36}{60} = \frac{3}{5} = 0.6\]

Ответ: cos A = 0.6