Вариант II. Найти функцию, обратную к данной; указать её область определения и множество значений (1—4): 1) y = 2x − 2; 2) y = 4/(3 + x); 3) y = 1/4 + x³; 4) y = ⁴√(2x − 7). На одном рисунке построить графики данной функции и функции, обратной к данной (5—7): 5) y = 2x − 4; 6) y = x² − 4 при x ≥ 0; 7) y = (x + 2)³ при x ≤ −2. 1) y = −3x; 2) y = (x − 4)², x ≥ 4; 3) y = √(x + 3). а) Найдите функцию, обратную данной; б) укажите область определения и область значений обратной функции; в) постройте графики данной функции и обратной в одной системе координат.

1—4. Обратные функции

1. Из y = 2x − 2 получаем x = (y + 2)/2, поэтому f⁻¹(x) = (x + 2)/2. D(f⁻¹) = ℝ, E(f⁻¹) = ℝ.
2. Из y = 4/(3 + x) следует x = 4/y − 3. Поэтому f⁻¹(x) = 4/x − 3. D(f⁻¹) = ℝ\{0}, E(f⁻¹) = ℝ\{−3}.
3. Из y = 1/4 + x³ получаем x = ∛(y − 1/4). Следовательно, f⁻¹(x) = ∛(x − 1/4). D(f⁻¹) = ℝ, E(f⁻¹) = ℝ.
4. Из y = ⁴√(2x − 7) следует y⁴ = 2x − 7, откуда f⁻¹(x) = (x⁴ + 7)/2 при x ≥ 0. D(f⁻¹) = [0, +∞), E(f⁻¹) = [7/2, +∞).

5—7. Графики и обратные функции

1. 5) y = 2x − 4; обратная: y = (x + 4)/2. D = ℝ, E = ℝ для обеих функций.
2. 6) Для y = x² − 4, x ≥ 0, получаем обратную y = √(x + 4). D = [−4, +∞), E = [0, +∞).
3. 7) Для y = (x + 2)³ при x ≤ −2 обратная функция: y = ∛x − 2. D = (−∞, 0], E = (−∞, −2].

Графики каждой пары являются отражениями друг друга относительно прямой y = x. Для построения точка (x, y) исходного графика переходит в точку (y, x) графика обратной функции.

а—в. Обратные функции и графики

1. Для y = −3x обратная функция y = −x/3. D = ℝ, E = ℝ.
2. Для y = (x − 4)² при x ≥ 4 имеем x − 4 = √y. Обратная функция y = 4 + √x. D = [0, +∞), E = [4, +∞).
3. Для y = √(x + 3) обратная функция y = x² − 3 при x ≥ 0. D = [0, +∞), E = [−3, +∞).

Графики каждой функции и её обратной симметричны относительно y = x. В пункте 2 берётся правая ветвь исходной параболы, а в пункте 3 — ветвь параболы обратной функции при x ≥ 0.

Примечание: в пункте 3 раздела 1—4 прочтено выражение y = 1/4 + x³.