Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Квадраты обеих частей равны: x + 4 = 2x − 1, откуда x = 5. Условие подкоренного выражения соблюдено.
ОДЗ: −1 ≤ x ≤ 1. После возведения в квадрат x + 1 = (1 − x)², то есть x(x − 3) = 0. Подходит только x = 0.
Необходимо x ≥ 2. Квадрат обеих частей: x + 10 = (x − 2)², или (x − 6)(x + 1) = 0. Подходит x = 6.
Возводим обе части в квадрат: x² − x − 3 = 9, то есть (x − 4)(x + 3) = 0. Оба значения подходят: x = −3 и x = 4.
Положим t = √x, t ≥ 0. Тогда √(3t² + 4) = t + 2. После возведения в квадрат получаем 2t(t − 2) = 0. Значит, x = 0 или x = 4; обе подстановки верны.
Пусть a = √(12 + x), b = √(1 − x). Тогда a − b = 1 и a + b = 11 + 2x. Следовательно, b = x + 5.5. Из b² = 1 − x получаем x² + 12x + 29.25 = 0, откуда x = −6 ± 3√3/2. Условию b ≥ 0 удовлетворяет только x = −6 + 3√3/2; подстановка в исходное уравнение подтверждает корень.
Обозначим a = √(x + 7), b = √(x − 2). Из a + b = 9 и (a − b)(a + b) = 9 следует a − b = 1. Тогда a = 5, b = 4; отсюда x = 18.
Пусть a = √(3x + 1), b = √(x + 8). Из a − b = 1 получаем a + b = 2x − 7, значит x ≥ 7/2. Тогда b = x − 4. Равенство b² = x + 8 даёт (x − 8)(x − 1) = 0. С учётом ограничения подходит x = 8.
ОДЗ: x ≥ 3/4. Обозначив корни слева через a и b, а правый корень через c, из a − b = c получаем a² + b² − c² = 2ab. Подстановка даёт 6x − 4 = 2√((7x − 5)(3x − 2)). Возведение в квадрат приводит к (3x − 2)(4x − 3) = 0. По ОДЗ остаётся x = 3/4; оно удовлетворяет исходному уравнению.
Возводим в куб: 19 − x³ = 27, поэтому x³ = −8 и x = −2.
Поскольку четвёртый корень равен x, должно быть x ≥ 0. Возведение в четвёртую степень даёт x⁴ − 13x² + 36 = 0, или (x² − 4)(x² − 9) = 0. Подходят x = 2 и x = 3.
12. Здесь 0 ≤ x ≤ 2. График √x возрастает, а график 4 − x² убывает. При x = 0 первый график ниже второго, при x = 2 — выше; следовательно, пересечение одно и корень один.
13. При x ≥ 1 графики √(x − 1) и (x − 2)² пересекаются дважды: при x = 1 квадратная функция выше корня, при x = 2 — ниже, а при больших x снова выше. Для проверки числа пересечений положим t = √(x − 1), t ≥ 0. Получим t⁴ − 2t² − t + 1 = 0. Эта функция убывает до единственного минимума на положительной полуоси, а затем возрастает; значение при t = 0 положительное, при t = 1 отрицательное, при больших t положительное. Значит, нулей два. Уравнение имеет 2 корня.
14. Область допустимых значений с учётом неотрицательности левой части: x ≥ 1. При x = 1 левая часть меньше правой, а при x = 2 — больше. На этом промежутке разность x³ − 1 − √(x + 1) строго возрастает, поскольку её производная 3x² − 1/(2√(x + 1)) положительна. Поэтому пересечение одно. Уравнение имеет 1 корень.
Ответ: 1) 5; 2) 0; 3) 6; 4) −3, 4; 5) 0, 4; 6) −6 + 3√3/2; 7) 18; 8) 8; 9) 3/4; 10) −2; 11) 2, 3. В уравнениях 12–14 соответственно 1, 2 и 1 корень.
