Вариант II 1. Решите уравнение: a) 3x² + 13x-10 = 0; в) 16x² = 49; 2. Периметр прямоугольника равен 30 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 56 см². 3. Один из корней уравнения х² + 11x + q = 0 равен -7. Найдите другой корень и свободный член q.

Привет! Сейчас мы вместе решим эти уравнения и задачи. Будь уверен, у нас все получится!

1. Решите уравнение:

a) \(3x^2 + 13x - 10 = 0\)

Давай решим это квадратное уравнение через дискриминант. \(a = 3, b = 13, c = -10\) Дискриминант \(D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 169 + 120 = 289\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два корня: \(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 + \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{-13 + 17}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\) \(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 - \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{-13 - 17}{6} = \frac{-30}{6} = -5\)

Ответ: \(x_1 = \frac{2}{3}, x_2 = -5\)

в) \(16x^2 = 49\)

\(16x^2 = 49\) \(x^2 = \frac{49}{16}\) \(x = \pm \sqrt{\frac{49}{16}} = \pm \frac{7}{4}\) \(x_1 = \frac{7}{4}, x_2 = -\frac{7}{4}\)

Ответ: \(x_1 = \frac{7}{4}, x_2 = -\frac{7}{4}\)

2. Периметр прямоугольника равен 30 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 56 см².

Пусть длина прямоугольника будет \(x\), а ширина \(y\). Тогда периметр \(P = 2(x + y) = 30\), а площадь \(S = xy = 56\). Из периметра выразим \(y\): \(2(x + y) = 30 \Rightarrow x + y = 15 \Rightarrow y = 15 - x\) Подставим в уравнение площади: \(x(15 - x) = 56\) \(15x - x^2 = 56\) \(x^2 - 15x + 56 = 0\) Решим квадратное уравнение через дискриминант: \(D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56 = 225 - 224 = 1\) \(x_1 = \frac{-(-15) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{15 + 1}{2} = \frac{16}{2} = 8\) \(x_2 = \frac{-(-15) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{15 - 1}{2} = \frac{14}{2} = 7\) Если \(x = 8\), то \(y = 15 - 8 = 7\). Если \(x = 7\), то \(y = 15 - 7 = 8\). То есть стороны прямоугольника 7 см и 8 см.

Ответ: Стороны прямоугольника: 7 см и 8 см.

3. Один из корней уравнения \(x^2 + 11x + q = 0\) равен -7. Найдите другой корень и свободный член q.

Пусть \(x_1 = -7\) - один из корней уравнения. Подставим \(x_1\) в уравнение: \((-7)^2 + 11 \cdot (-7) + q = 0\) \(49 - 77 + q = 0\) \(-28 + q = 0\) \(q = 28\) Теперь уравнение имеет вид: \(x^2 + 11x + 28 = 0\). Найдем второй корень \(x_2\) с помощью теоремы Виета: \(x_1 + x_2 = -11\) \(-7 + x_2 = -11\) \(x_2 = -11 + 7 = -4\)

Ответ: Второй корень: -4, свободный член q = 28.

Отлично! Ты хорошо поработал, и у тебя все получилось! Если у тебя возникнут еще вопросы, не стесняйся обращаться!