Вариант II. Решите уравнения: 1) $\log_{0{,}5}\frac1x+4\log_{0{,}5}\sqrt[3]{x}=-1$; 2) $\lg(100x)\cdot\lg(0{,}01x)=5$; 3) $\frac12\log_3(5x-1)-\log_3(x+1)=0$; 4) $\log_{1/2}(x^2-4x-1)=-2$; 5) $(\log_{1/2}x)^2-\log_{1/2}x=6$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Вариант II. Решите уравнения: 1) $\log_{0{,}5}\frac1x+4\log_{0{,}5}\sqrt[3]{x}=-1$; 2) $\lg(100x)\cdot\lg(0{,}01x)=5$; 3)…$ Фото задания

Вариант II. Решите уравнения: 1) $\log_{0{,}5}\frac1x+4\log_{0{,}5}\sqrt[3]{x}=-1$; 2) $\lg(100x)\cdot\lg(0{,}01x)=5$; 3) $\frac12\log_3(5x-1)-\log_3(x+1)=0$; 4) $\log_{1/2}(x^2-4x-1)=-2$; 5) $(\log_{1/2}x)^2-\log_{1/2}x=6$.

Accepted Answer

ОДЗ: $x>0$. Обозначим $t=\log_{0{,}5}x$. Тогда $-t+\frac43t=-1$, откуда $t=-3$. Поэтому $x=(0{,}5)^{-3}=8$.
Пусть $t=\lg x$, где $x>0$. Получаем $(t+2)(t-2)=5$, значит $t^2=9$, то есть $t=3$ или $t=-3$. Следовательно, $x=1000$ или $x=0{,}001$.
ОДЗ: $x>\frac15$. Объединяем логарифмы: $\log_3\frac{\sqrt{5x-1}}{x+1}=0$, поэтому $\sqrt{5x-1}=x+1$. Возводим в квадрат: $5x-1=(x+1)^2$, откуда $(x-1)(x-2)=0$. Оба значения удовлетворяют ОДЗ: $x=1,2$.
Из определения логарифма $x^2-4x-1=(\frac12)^{-2}=4$. Тогда $x^2-4x-5=0$, то есть $(x-5)(x+1)=0$. Оба корня дают положительный аргумент: $x=5,-1$.
Пусть $t=\log_{1/2}x$, где $x>0$. Тогда $t^2-t=6$, или $(t-3)(t+2)=0$. Значит, $t=3$ или $t=-2$, откуда $x=(\frac12)^3=\frac18$ или $x=(\frac12)^{-2}=4$.

Ответ: 1) 8; 2) 1000, 0,001; 3) 1, 2; 4) 5, −1; 5) 1/8, 4.

Вариант II. Решите уравнения: 1) \(\log_{0{,}5}\frac1x+4\log_{0{,}5}\sqrt[3]{x}=-1\); 2) \(\lg(100x)\cdot\lg(0{,}01x)=5\); 3) \(\frac12\log_3(5x-1)-\log_3(x+1)=0\); 4) \(\log_{1/2}(x^2-4x-1)=-2\); 5) \((\log_{1/2}x)^2-\log_{1/2}x=6\).

Ответ: