Вариант II 1. Вычислите скалярное произведение векторов т и и, если || = 3, || = 4, а угол между ними равен 135°. 2. Скалярное произведение ненулевых векторов в и я равно нулю. Определите угол между этими векторами. 3. Вычислите скалярное произведение векторов а и Б, если а {-4; 5), 8 (-5; 4). 4. Вычислите косинус угла между векторами а и Б, если а {-12; 5}, {3; 4}. 5. Даны векторы т {3; у} и п {2; -6}. При каком значении у эти векторы перпендикулярны?

Задание 1

Скалярное произведение векторов $$\vec{m}$$ и $$\vec{n}$$ вычисляется по формуле:$$\vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{m}| \cdot |\vec{n}| \cdot \cos{\alpha}$$, где $$\|\vec{m}\|$$ и $$\|\vec{n}\|$$ — длины векторов, а $$\alpha$$ — угол между ними.

Подставим известные значения:$$\vec{m} \cdot \vec{n} = 3 \cdot 4 \cdot \cos{135^\circ}$$

Т.к. $$\cos{135^\circ} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$, то$$\vec{m} \cdot \vec{n} = 12 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -6\sqrt{2}$$

Ответ: $$-6\sqrt{2}$$

Задание 2

Если скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны. Угол между перпендикулярными векторами равен 90°.

Ответ: 90°

Задание 3

Скалярное произведение векторов $$\vec{a} = \{-4; 5\}$$ и $$\vec{b} = \{-5; 4\}$$ вычисляется по формуле:$$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y$$

Подставим значения:$$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-4) \cdot (-5) + 5 \cdot 4 = 20 + 20 = 40$$

Ответ: 40

Задание 4

Косинус угла между векторами $$\vec{a} = \{-12; 5\}$$ и $$\vec{b} = \{3; 4\}$$ вычисляется по формуле:$$\cos{\alpha} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\| \cdot \|\vec{b}\|}$$, где $$\|\vec{a}\|$$ и $$\|\vec{b}\|$$ — длины векторов, а $$\\\vec{a} \cdot \vec{b}$$ - скалярное произведение.

Сначала найдем скалярное произведение:$$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-12) \cdot 3 + 5 \cdot 4 = -36 + 20 = -16$$

Теперь найдем длины векторов:$$\|\vec{a}\| = \sqrt{(-12)^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$$ $$\|\vec{b}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Подставим значения в формулу косинуса угла:$$\cos{\alpha} = \frac{-16}{13 \cdot 5} = -\frac{16}{65}$$

Ответ: $$\-\frac{16}{65}$$

Задание 5

Векторы $$\vec{m} = \{3; y\}$$ и $$\vec{n} = \{2; -6\}$$ перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю:$$\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$$

Скалярное произведение:$$\vec{m} \cdot \vec{n} = 3 \cdot 2 + y \cdot (-6) = 6 - 6y$$

Приравняем к нулю:$$6 - 6y = 0$$

Решим уравнение:$$6y = 6 \Rightarrow y = 1$$

Ответ: 1