Вариант III. 1. Представьте в виде дроби: а) \(\frac{28b^6}{c^3}\cdot\frac{c^5}{84b^6}\); б) \(30x^2y:\frac{72xy}{z}\); в) \(\frac{3x+6}{x+3}\cdot\frac{x^2-9}{x^2-4}\); г) \(\frac{2a-b}{a}\cdot\left(\frac{a}{2a-b}+\frac{a}{b}\right)\). 2. Постройте график функции \(y=\frac4x\). Какова область определения функции? При каких значениях \(x\) функция принимает положительные значения? 3. Докажите, что при всех значениях \(y\ne\pm3\) значение выражения \(\frac{2y}{y+3}+(y-3)^2\cdot\left(\frac2{9-6y+y^2}+\frac1{9-y^2}\right)\) не зависит от \(y\).

1а) Сократим общие множители:

\(\frac{28b^6}{c^3}\cdot\frac{c^5}{84b^6}=\frac{c^2}{3}\).

1б) Деление на дробь заменяем умножением на обратную:

\(30x^2y:\frac{72xy}{z}=30x^2y\cdot\frac{z}{72xy}=\frac{5xz}{12}\).

1в) Разложим на множители: \(3x+6=3(x+2)\), \(x^2-9=(x-3)(x+3)\), \(x^2-4=(x-2)(x+2)\). Сокращаем общие множители:

\(\frac{3(x+2)}{x+3}\cdot\frac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x+2)}=\frac{3(x-3)}{x-2}\), где \(x\ne-3,-2,2\).

1г) Приведём сумму в скобках к общему знаменателю:

\(\frac{2a-b}{a}\left(\frac{a^2+b(2a-b)}{b(2a-b)}\right)=\frac{a^2+2ab-b^2}{ab}\), где \(a\ne0\), \(b\ne0\), \(2a-b\ne0\).

2. График функции \(y=\frac4x\) — гипербола с ветвями в I и III четвертях. Для построения можно отметить точки \((1;4)\), \((2;2)\), \((4;1)\), \((-1;-4)\), \((-2;-2)\), \((-4;-1)\) и провести через них две плавные ветви, приближающиеся к осям координат.

Делитель не может быть равен нулю, поэтому \(x\ne0\). Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака; поскольку числитель 4 положителен, это происходит при \(x>0\).

Область определения: \(x\in\mathbb R\setminus\{0\}\). Положительные значения функция принимает при: \(x>0\).

3. Используем тождества \(9-6y+y^2=(y-3)^2\) и \(9-y^2=(3-y)(3+y)=-(y-3)(y+3)\):

\((y-3)^2\left(\frac2{(y-3)^2}-\frac1{(y-3)(y+3)}\right)=2-\frac{y-3}{y+3}\).

Тогда всё выражение равно

\(\frac{2y}{y+3}+2-\frac{y-3}{y+3}=\frac{y+3}{y+3}+2=3\).

При указанных в условии значениях выражение постоянно и равно 3.