Вариант ІII 1. Через середину отрезка АВ проведена прямая а. Из то- чек А и Вк прямой а проведены перпендикуляры АС и ВД. Докажите, что АC = BD. 2. В прямоугольном треугольнике CDE с прямым углом Е проведена высота EF. Найдите CF и FD, если CD = 18 см, a DCE = 30°. Вариант IV 1. Из точки М биссектрисы неразвёрнутого угла О прове- дены перпендикуляры МА и МВ к сторонам этого угла. Докажите, что МА MB. 2. В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АВ и углом А, равным 60°, проведена высота СН. Найдите ВН, если АН = 6 см.

Задача 1

Доказательство:

• Пусть О – середина отрезка AB. Тогда AO = OB.
• Рассмотрим треугольники △AOC и △BOD. У них:
  • AO = OB (по условию).
  • ∠AOC = ∠BOD (как вертикальные).
  • ∠ACO = ∠BDO = 90° (по условию, AC и BD – перпендикуляры).
• Следовательно, △AOC = △BOD (по второму признаку равенства треугольников: по стороне и двум прилежащим к ней углам).
• Из равенства треугольников следует, что AC = BD.

Что и требовалось доказать.

Задача 2

В прямоугольном треугольнике CDE с прямым углом E проведена высота EF. Найдите CF и FD, если CD = 18 см, а ∠DCE = 30°.

Решение:

• В прямоугольном треугольнике CDE: ∠DCE = 30°, следовательно, ∠CDE = 90° - 30° = 60°.
• Рассмотрим треугольник CFE: ∠CFE = 90°, ∠ECF = 30°, следовательно, cos(30°) = CF / CE.
• Рассмотрим треугольник CDE: cos(30°) = CE / CD, следовательно, CE = CD * cos(30°) = 18 * √3/2 = 9√3 см.
• Теперь найдем CF: CF = CE * cos(30°) = 9√3 * √3/2 = 27/2 = 13.5 см.
• DF = CD - CF = 18 - 13.5 = 4.5 см.

Ответ: CF = 13.5 см, FD = 4.5 см.

Задача 1

Из точки M биссектрисы неразвёрнутого угла O проведены перпендикуляры MA и MB к сторонам этого угла. Докажите, что MA = MB.

Доказательство:

• Рассмотрим треугольники △OMA и △OMB. У них:
  • ∠MAO = ∠MBO = 90° (по условию, MA и MB – перпендикуляры).
  • OM – общая сторона.
  • ∠AOM = ∠BOM (по условию, OM – биссектриса угла O).
• Следовательно, △OMA = △OMB (по гипотенузе и острому углу).
• Из равенства треугольников следует, что MA = MB.

Что и требовалось доказать.

Задача 2

В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AB и углом A, равным 60°, проведена высота CH. Найдите BH, если AH = 6 см.

Решение:

• В прямоугольном треугольнике ACH: ∠A = 60°, следовательно, ∠ACH = 90° - 60° = 30°.
• AH = 6 см.
• Используем теорему о том, что катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. В треугольнике ACH катет AH лежит против угла ∠ACH = 30°, следовательно, AC = 2 * AH = 2 * 6 = 12 см.
• В прямоугольном треугольнике ABC: ∠A = 60°, следовательно, cos(60°) = AC / AB.
• AB = AC / cos(60°) = 12 / 0.5 = 24 см.
• BH = AB - AH = 24 - 6 = 18 см.

Ответ: BH = 18 см.