Вариант III. Диагональ AC равнобедренной трапеции ABCD делит пополам угол BAD. Найти периметр трапеции, если основание AD равно 12 см, а угол ADC равен 60°.

Обозначим равнобедренную трапецию как ABCD, где AD - большее основание, BC - меньшее основание, AB и CD - боковые стороны.

1. Так как AC - биссектриса угла BAD, то ∠BAC = ∠CAD. Поскольку трапеция равнобедренная, то ∠BAD = ∠CDA = 60°.

2. Тогда ∠BAC = ∠CAD = 60° / 2 = 30°.

3. Рассмотрим треугольник ADC. ∠ACD = 180° - ∠CAD - ∠ADC = 180° - 30° - 60° = 90°. Значит, треугольник ADC - прямоугольный.

4. Рассмотрим треугольник ABC. ∠ABC = 180° - ∠BAD = 180° - 60° = 120°. ∠ACB = 180° - ∠BAC - ∠ABC = 180° - 30° - 120° = 30°. Следовательно, треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, и AB = BC.

5. Найдем CD из прямоугольного треугольника ADC:

$$\sin(30^\circ) = \frac{CD}{AD}$$ $$CD = AD \cdot \sin(30^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \text{ см}$$

6. Так как трапеция равнобедренная, то AB = CD = 6 см.

7. В прямоугольном треугольнике ADC катет CD, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы AD. Следовательно, AD = 2CD.

8. Найдем BC. Из треугольника ABC следует, что AB = BC = 6 см.

9. Периметр трапеции ABCD равен P = AB + BC + CD + AD = 6 + 6 + 6 + 12 = 30 см.

Ответ: 30 см