Вариант ІII 1. Найдите угол между лучом ОС и положительной полу- осью Ох, если C(√3; 1). 2. Решите треугольник CDE, если ∠C=60°, CD = 8 дм, СЕ = 5 дм. 3. Найдите косинус угла между векторами аип-а-Б, если а = 4, 6-3, ab = 60°. ←

1. Координаты точки C(√3; 1) позволяют определить угол между лучом OC и положительной полуосью Ox. Тангенс угла наклона равен отношению ординаты к абсциссе: $$tg \alpha = \frac{y}{x} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$. Следовательно, угол $$ \alpha = arctg \frac{1}{\sqrt{3}} = 30^{\circ}$$. Ответ: 30° 2. Решение треугольника CDE: Дано: ∠C = 60°, CD = 8 дм, CE = 5 дм. Используем теорему косинусов для нахождения стороны DE: $$DE^2 = CD^2 + CE^2 - 2 \cdot CD \cdot CE \cdot cos(∠C)$$ $$DE^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot cos(60^{\circ})$$ $$DE^2 = 64 + 25 - 80 \cdot \frac{1}{2} = 89 - 40 = 49$$ $$DE = \sqrt{49} = 7 \text{ дм}$$ Теперь найдем углы ∠D и ∠E, используя теорему синусов: $$\frac{DE}{\sin(∠C)} = \frac{CE}{\sin(∠D)} = \frac{CD}{\sin(∠E)}$$ $$\frac{7}{\sin(60^{\circ})} = \frac{5}{\sin(∠D)} = \frac{8}{\sin(∠E)}$$ $$\sin(∠D) = \frac{5 \cdot \sin(60^{\circ})}{7} = \frac{5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{7} = \frac{5\sqrt{3}}{14} ≈ 0.6186$$ $$∠D = \arcsin(0.6186) ≈ 38.22^{\circ}$$ $$\sin(∠E) = \frac{8 \cdot \sin(60^{\circ})}{7} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{7} = \frac{4\sqrt{3}}{7} ≈ 0.9897$$ $$∠E = \arcsin(0.9897) ≈ 81.8^{\circ}$$ Проверка: ∠C + ∠D + ∠E = 60° + 38.22° + 81.8° = 180.02° (ошибка округления) Ответ: DE = 7 дм, ∠D ≈ 38.22°, ∠E ≈ 81.8° 3. Найдем косинус угла между векторами $$\vec{a}$$ и $$\vec{n} = \vec{a} - \vec{b}$$, если $$\vert \vec{a} \vert = 4, \vert \vec{b} \vert = 3, \angle(\vec{a}, \vec{b}) = 60^{\circ}$$. Сначала найдем скалярное произведение $$\vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} = \vert \vec{a} \vert^2 - \vert \vec{a} \vert \cdot \vert \vec{b} \vert \cdot \cos(60^{\circ})$$ $$\vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 16 - 6 = 10$$ Теперь найдем модуль вектора $$\vec{n} = \vec{a} - \vec{b}$$, используя теорему косинусов: $$\vert \vec{n} \vert^2 = \vert \vec{a} - \vec{b} \vert^2 = \vert \vec{a} \vert^2 + \vert \vec{b} \vert^2 - 2 \cdot \vert \vec{a} \vert \cdot \vert \vec{b} \vert \cdot \cos(60^{\circ})$$ $$\vert \vec{n} \vert^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 16 + 9 - 12 = 13$$ $$\vert \vec{n} \vert = \sqrt{13}$$ Косинус угла между векторами $$\vec{a}$$ и $$\vec{n}$$ равен: $$\cos(\angle(\vec{a}, \vec{n})) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{n}}{\vert \vec{a} \vert \cdot \vert \vec{n} \vert} = \frac{10}{4 \cdot \sqrt{13}} = \frac{10}{4\sqrt{13}} = \frac{5}{2\sqrt{13}} = \frac{5\sqrt{13}}{26} ≈ 0.692$$ Ответ: $$\frac{5\sqrt{13}}{26} ≈ 0.692$$