Вариант III 1. Представить в виде многочлена: a) 2a(5a – 3) – (a – 2)(a – 4); 2 б) (x + 7)² – (7 – x)(7 + x); - в) 3(п – 4)² + 15n. 2. Разложить на множители: a) 16y – y³; б) 5m² – 40mn + 80n²; 3 в) 125 – d³. 3. Упростить выражение: (x² + 3x)² - (x + 2)(2-x)(4 + x²) – x²(8x – x²). 4. Разложить на множители: a) c² – (c – d)²; 6) a³ – b³ + 4ab(a² + ab + b²). 5. Решите уравнение: (x + 2)3 – x²(x + 5) – (x + 1)(x − 1) = 0.

1. Представить в виде многочлена:

a) 2a(5a – 3) – (a – 2)(a – 4)

Шаг 1: Раскрываем скобки:

2a(5a - 3) = 10a² - 6a

(a - 2)(a - 4) = a² - 4a - 2a + 8 = a² - 6a + 8

Шаг 2: Подставляем полученные выражения:

10a² - 6a - (a² - 6a + 8) = 10a² - 6a - a² + 6a - 8

Шаг 3: Упрощаем выражение:

10a² - a² - 6a + 6a - 8 = 9a² - 8

Ответ: 9a² - 8

б) (x + 7)² – (7 – x)(7 + x)

Шаг 1: Раскрываем скобки:

(x + 7)² = x² + 14x + 49

(7 - x)(7 + x) = 49 - x²

Шаг 2: Подставляем полученные выражения:

x² + 14x + 49 - (49 - x²) = x² + 14x + 49 - 49 + x²

Шаг 3: Упрощаем выражение:

x² + x² + 14x + 49 - 49 = 2x² + 14x

Ответ: 2x² + 14x

в) 3(n – 4)² + 15n

Шаг 1: Раскрываем скобки:

(n - 4)² = n² - 8n + 16

3(n - 4)² = 3(n² - 8n + 16) = 3n² - 24n + 48

Шаг 2: Подставляем полученные выражения:

3n² - 24n + 48 + 15n

Шаг 3: Упрощаем выражение:

3n² - 24n + 15n + 48 = 3n² - 9n + 48

Ответ: 3n² - 9n + 48

2. Разложить на множители:

a) 16y – y³

Шаг 1: Выносим общий множитель y:

y(16 - y²)

Шаг 2: Раскладываем скобку как разность квадратов:

y(4 - y)(4 + y)

Ответ: y(4 - y)(4 + y)

б) 5m² – 40mn + 80n²

Шаг 1: Выносим общий множитель 5:

5(m² - 8mn + 16n²)

Шаг 2: Замечаем полный квадрат в скобках:

5(m - 4n)²

Ответ: 5(m - 4n)²

в) 125 – d³

Шаг 1: Раскладываем как разность кубов:

(5 - d)(25 + 5d + d²)

Ответ: (5 - d)(25 + 5d + d²)

3. Упростить выражение:

(x² + 3x)² - (x + 2)(2-x)(4 + x²) – x²(8x – x²)

Шаг 1: Раскрываем скобки:

(x² + 3x)² = x⁴ + 6x³ + 9x²

(x + 2)(2 - x) = 4 - x²

(4 - x²)(4 + x²) = 16 - x⁴

x²(8x - x²) = 8x³ - x⁴

Шаг 2: Подставляем полученные выражения:

x⁴ + 6x³ + 9x² - (16 - x⁴) - (8x³ - x⁴) = x⁴ + 6x³ + 9x² - 16 + x⁴ - 8x³ + x⁴

Шаг 3: Упрощаем выражение:

x⁴ + x⁴ + x⁴ + 6x³ - 8x³ + 9x² - 16 = 3x⁴ - 2x³ + 9x² - 16

Ответ: 3x⁴ - 2x³ + 9x² - 16

4. Разложить на множители:

a) c² – (c – d)²

Шаг 1: Раскрываем скобки:

(c - d)² = c² - 2cd + d²

Шаг 2: Подставляем полученное выражение:

c² - (c² - 2cd + d²) = c² - c² + 2cd - d²

Шаг 3: Упрощаем выражение:

2cd - d² = d(2c - d)

Ответ: d(2c - d)

б) a³ – b³ + 4ab(a² + ab + b²)

Шаг 1: Раскладываем разность кубов:

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

Шаг 2: Подставляем полученное выражение:

(a - b)(a² + ab + b²) + 4ab(a² + ab + b²) = (a² + ab + b²)(a - b + 4ab)

Ответ: (a² + ab + b²)(a - b + 4ab)

5. Решите уравнение:

(x + 2)³ – x²(x + 5) – (x + 1)(x − 1) = 0

Шаг 1: Раскрываем скобки:

(x + 2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8

x²(x + 5) = x³ + 5x²

(x + 1)(x - 1) = x² - 1

Шаг 2: Подставляем полученные выражения:

x³ + 6x² + 12x + 8 - (x³ + 5x²) - (x² - 1) = 0

x³ + 6x² + 12x + 8 - x³ - 5x² - x² + 1 = 0

Шаг 3: Упрощаем выражение:

x³ - x³ + 6x² - 5x² - x² + 12x + 8 + 1 = 0

12x + 9 = 0

Шаг 4: Решаем уравнение:

12x = -9

x = -9/12

x = -3/4

Ответ: x = -3/4