Вариант III6. 1) Постройте график функции и опишите его свойства: y = 3x². 2) Решите уравнения: а) x² − 3x + √(3 − x) = √(3 − x) + 10; б) x³ + 3x² − 4x − 12 = 0.

1. График функции y = 3x²

Это парабола, полученная из графика y = x² сжатием к оси Oy в 3 раза.

• Вершина: O(0; 0).
• Ось симметрии: x = 0.
• Ветви направлены вверх.
• Область определения: \(D(y)=(-∞; +∞)\).
• Область значений: \(E(y)=[0; +∞)\).
• Функция убывает на \((-∞; 0]\) и возрастает на \([0; +∞)\).
• Наименьшее значение равно 0 при x = 0; наибольшего значения нет.
• График пересекает оси координат в точке O(0; 0); при x ≠ 0 значение функции положительно.

2а. \(x^2-3x+\sqrt{3-x}=\sqrt{3-x}+10\).

ОДЗ: \(3-x\ge 0\), поэтому \(x\le 3\).

Сократим одинаковые слагаемые:

\(x^2-3x=10\),
\(x^2-3x-10=0\),
\((x-5)(x+2)=0\).

Получаем \(x=5\) или \(x=-2\). Число 5 не входит в ОДЗ, а число −2 входит.

Ответ: \(x=-2\).

2б. \(x^3+3x^2-4x-12=0\).

Сгруппируем слагаемые:

\(x^2(x+3)-4(x+3)=0\),
\((x+3)(x^2-4)=0\),
\((x+3)(x-2)(x+2)=0\).

Ответ: \(x=-3;\ -2;\ 2\).