Вариант IV. 1. Представьте в виде дроби: а) \(\frac{14p^4}{q^6}\cdot\frac{q^5}{56p^4}\); б) \(45a^3b\cdot\frac{c^2}{30a^4b}\); в) \(\frac{3a-9}{a+2}\cdot\frac{a^2-9}{a^2-4}\); г) \(\frac{3x+y}{y}:\left(\frac{y}{x}-\frac{3y}{3x+y}\right)\). 2. Постройте график функции \(y=-\frac4x\). Какова область определения функции? При каких значениях \(x\) функция принимает отрицательные значения? 3. Докажите, что при всех значениях \(a\ne\pm5\) значение выражения \(\left(\frac3{25-a^2}+\frac1{a^2-10a+25}\right)\cdot\frac{(5-a)^2}{2}+\frac{3a}{a+5}\) не зависит от \(a\).

1а) Сократим степени и числовые множители:

\(\frac{14p^4}{q^6}\cdot\frac{q^5}{56p^4}=\frac1{4q}\).

1б) Сократим общие множители:

\(45a^3b\cdot\frac{c^2}{30a^4b}=\frac{3c^2}{2a}\).

1в) Разложим на множители:

\(\frac{3(a-3)}{a+2}\cdot\frac{(a-3)(a+3)}{(a-2)(a+2)}=\frac{3(a-3)^2(a+3)}{(a+2)^2(a-2)}\), где \(a\ne-2,2\).

1г) Сначала упростим выражение в скобках:

\(\frac{y}{x}-\frac{3y}{3x+y}=\frac{y(3x+y)-3xy}{x(3x+y)}=\frac{y^2}{x(3x+y)}\).

Деление на эту дробь заменяем умножением на обратную:

\(\frac{3x+y}{y}:\frac{y^2}{x(3x+y)}=\frac{x(3x+y)^2}{y^3}\).

2. График функции \(y=-\frac4x\) — гипербола с ветвями во II и IV четвертях. Для построения отметим точки \((1;-4)\), \((2;-2)\), \((4;-1)\), \((-1;4)\), \((-2;2)\), \((-4;1)\) и проведём через них две плавные ветви, приближающиеся к осям.

Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \(x\ne0\). При положительном числителе дробь \(-4/x\) отрицательна тогда и только тогда, когда \(x>0\).

Область определения: \(x\in\mathbb R\setminus\{0\}\). Отрицательные значения функция принимает при: \(x>0\).

3. Разложим знаменатели: \(25-a^2=(5-a)(5+a)\), \(a^2-10a+25=(5-a)^2\). Тогда

\(\left(\frac3{(5-a)(5+a)}+\frac1{(5-a)^2}\right)\cdot\frac{(5-a)^2}{2}+\frac{3a}{a+5}\)

\(=\frac12\left(\frac{3(5-a)}{5+a}+1\right)+\frac{3a}{a+5}=\frac12\cdot\frac{20-2a}{a+5}+\frac{3a}{a+5}\)

\(=\frac{10-a+3a}{a+5}=2\).

Следовательно, выражение не зависит от \(a\) и равно 2.