Вариант IV 1. Сформулируйте теорему об окружности, вписанной в треугольник. 2. Впишите окружность в данный прямоугольный треугольник. 3. Основание равнобедренного треугольника равно 16 см, боковая сторона равна 17 см. Найдите радиус вписанной в этот треугольник окружности.

Решение:

1. Теорема о вписанной окружности: В любом треугольнике можно провести окружность, касающуюся всех его сторон. Центр этой окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника.

2. Построение вписанной окружности в прямоугольный треугольник:

• Проведем биссектрисы двух углов прямоугольного треугольника.


• Точка пересечения биссектрис будет центром вписанной окружности.


• Из центра проведем перпендикуляры к сторонам треугольника. Длина этих перпендикуляров равна радиусу вписанной окружности.


• Проведем окружность с найденным центром и радиусом.

3. Нахождение радиуса вписанной окружности:

Дано:
Равнобедренный треугольник. Основание \( a = 16 \) см, боковая сторона \( b = 17 \) см.

Найти:
Радиус вписанной окружности \( r \).

Решение:

1. Найдем высоту \( h \), проведенную к основанию, используя теорему Пифагора. Высота делит основание пополам: \( \frac{a}{2} = \frac{16}{2} = 8 \) см.
   \[ h = \sqrt{b^2 - (a/2)^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15 \] см.


2. Площадь треугольника \( S \) равна:
   \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 15 = 8 \cdot 15 = 120 \] см².


3. Периметр треугольника \( P \) равен:
   \[ P = a + 2b = 16 + 2 \cdot 17 = 16 + 34 = 50 \] см.


4. Радиус вписанной окружности \( r \) находится по формуле:
   \[ r = \frac{2S}{P} = \frac{2 \cdot 120}{50} = \frac{240}{50} = \frac{24}{5} = 4.8 \] см.

Ответ: 4.8 см.