Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Вариант 3 №1 Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 40 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 92 км, скорость первого велосипедиста равна 30 км/ч, а скорость второго велосипедиста равна 12 км/ч. Определите, сколько километров составляет расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи. №2 Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 220 км, на мопеде отправился курьер. Через час после этого из пункта А на мотоцикле выехал второй курьер, который догнал первого, передал ему поручение и сразу двинулся обратно с той же скоростью, возвратившись в пункт А в тот момент, когда первый курьер достиг пункта В. Чему равна скорость первого курьера, если скорость второго 66 км/ч? No3 Первые 300 км автомобиль ехал со скоростью 100 км/ч, следующие 320 км со скоростью 80 км/ч, а последние 400 км со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. №4 Из двух пунктов, расстояние между которыми 1200 км, выезжают одновременно навстречу друг другу с постоянной скоростью пассажирский и скорый поезда. Если бы оба поезда двигались со скоростью скорого поезда, то их встреча произошла бы на 2 часа раньше фактического момента встречи. А если бы оба поезда двигались со скоростью пассажирского поезда, то их встреча произошла бы на 4 часа позже фактического момента встречи. Найдите скорость каждого из поездов. Егорова Галерия 3-3
Ответ:
Краткое пояснение: Сначала решим задачу №1, затем задачу №2, №3 и №4.
№1
Краткое пояснение: Нужно найти расстояние, которое проехал второй велосипедист до встречи, учитывая время остановки первого велосипедиста.
-
Шаг 1: Определим время, которое первый велосипедист не двигался.
40 минут = 40/60 часа = 2/3 часа
- Шаг 2: Пусть t — время движения до встречи после остановки первого велосипедиста. Тогда первый велосипедист был в пути t + 2/3 часа, а второй — t + 2/3 часа.
- Шаг 3: Запишем уравнение движения: \[30 \cdot (t + \frac{2}{3}) + 12 \cdot (t + \frac{2}{3}) = 92\]
- Шаг 4: Раскроем скобки и решим уравнение: \[30t + 20 + 12t + 8 = 92\] \[42t = 92 - 28\] \[42t = 64\] \[t = \frac{64}{42} = \frac{32}{21} \approx 1.52 \text{ часа}\]
- Шаг 5: Определим расстояние, которое проехал второй велосипедист: \[S_2 = 12 \cdot (t + \frac{2}{3}) = 12 \cdot (\frac{32}{21} + \frac{2}{3}) = 12 \cdot (\frac{32}{21} + \frac{14}{21}) = 12 \cdot \frac{46}{21} = \frac{552}{21} \approx 26.29 \text{ км}\]
Ответ: 26.29 км
№2
Краткое пояснение: Нужно найти скорость первого курьера, зная расстояние между пунктами, скорость второго курьера и условие, что первый курьер достиг пункта В в тот момент, когда второй вернулся в пункт А.
- Шаг 1: Пусть v — скорость первого курьера, t — время, через которое второй курьер догнал первого.
- Шаг 2: Запишем уравнение движения второго курьера до момента встречи: \[66t = v(t + 1)\]
- Шаг 3: Выразим время t: \[t = \frac{v}{66 - v}\]
- Шаг 4: Общее время движения первого курьера до пункта B равно времени движения второго курьера туда и обратно, плюс 1 час: \[\frac{220}{v} = t + t + 1 = 2t + 1\]
- Шаг 5: Подставим выражение для t: \[\frac{220}{v} = \frac{2v}{66 - v} + 1\]
- Шаг 6: Решим уравнение относительно v: \[\frac{220}{v} = \frac{2v + 66 - v}{66 - v}\] \[\frac{220}{v} = \frac{v + 66}{66 - v}\] \[220(66 - v) = v(v + 66)\] \[14520 - 220v = v^2 + 66v\] \[v^2 + 286v - 14520 = 0\]
- Шаг 7: Решим квадратное уравнение: \[D = 286^2 - 4 \cdot (-14520) = 81796 + 58080 = 139876\] \[v = \frac{-286 \pm \sqrt{139876}}{2} \approx \frac{-286 \pm 374}{2}\] Т.к. скорость не может быть отрицательной, берем положительное значение: \[v = \frac{374 - 286}{2} = \frac{88}{2} = 44 \text{ км/ч}\]
Ответ: 44 км/ч
№3
Краткое пояснение: Найдем среднюю скорость автомобиля, разделив общее расстояние на общее время.
-
Шаг 1: Найдем время, затраченное на каждый участок пути:
- Первый участок: \[t_1 = \frac{300}{100} = 3 \text{ часа}\]
- Второй участок: \[t_2 = \frac{320}{80} = 4 \text{ часа}\]
- Третий участок: \[t_3 = \frac{400}{40} = 10 \text{ часов}\]
- Шаг 2: Найдем общее расстояние: \[S = 300 + 320 + 400 = 1020 \text{ км}\]
- Шаг 3: Найдем общее время: \[t = t_1 + t_2 + t_3 = 3 + 4 + 10 = 17 \text{ часов}\]
- Шаг 4: Найдем среднюю скорость: \[v_{ср} = \frac{S}{t} = \frac{1020}{17} = 60 \text{ км/ч}\]
Ответ: 60 км/ч
№4
Краткое пояснение: Решим задачу, используя условие о времени встречи поездов.
- Шаг 1: Пусть v1 — скорость пассажирского поезда, v2 — скорость скорого поезда.
- Шаг 2: Время фактической встречи: \[t = \frac{1200}{v_1 + v_2}\]
- Шаг 3: Если бы оба поезда двигались со скоростью скорого поезда, время встречи было бы на 2 часа меньше: \[\frac{1200}{2v_2} = t - 2\]
- Шаг 4: Если бы оба поезда двигались со скоростью пассажирского поезда, время встречи было бы на 4 часа больше: \[\frac{1200}{2v_1} = t + 4\]
- Шаг 5: Подставим выражение для t в уравнения: \[\frac{1200}{2v_2} = \frac{1200}{v_1 + v_2} - 2\] \[\frac{1200}{2v_1} = \frac{1200}{v_1 + v_2} + 4\]
- Шаг 6: Упростим уравнения: \[\frac{600}{v_2} = \frac{1200}{v_1 + v_2} - 2\] \[\frac{600}{v_1} = \frac{1200}{v_1 + v_2} + 4\]
- Шаг 7: Выразим v1 + v2 из обоих уравнений: \[v_1 + v_2 = \frac{1200}{\frac{600}{v_2} + 2}\] \[v_1 + v_2 = \frac{1200}{\frac{600}{v_1} - 4}\]
- Шаг 8: Приравняем правые части: \[\frac{1200}{\frac{600}{v_2} + 2} = \frac{1200}{\frac{600}{v_1} - 4}\]
- Шаг 9: Упростим: \[\frac{600}{v_2} + 2 = \frac{600}{v_1} - 4\] \[\frac{600}{v_1} - \frac{600}{v_2} = 6\] \[\frac{100}{v_1} - \frac{100}{v_2} = 1\]
- Шаг 10: Выразим v2 через v1: \[\frac{100}{v_1} - 1 = \frac{100}{v_2}\] \[\frac{100 - v_1}{v_1} = \frac{100}{v_2}\] \[v_2 = \frac{100v_1}{100 - v_1}\]
- Шаг 11: Подставим v2 в одно из исходных уравнений, например, во второе: \[\frac{600}{v_1} = \frac{1200}{v_1 + \frac{100v_1}{100 - v_1}} + 4\]
- Шаг 12: Решим уравнение: \[\frac{600}{v_1} = \frac{1200}{\frac{100v_1 - v_1^2 + 100v_1}{100 - v_1}} + 4\] \[\frac{600}{v_1} = \frac{1200(100 - v_1)}{200v_1 - v_1^2} + 4\] \[\frac{600}{v_1} = \frac{1200(100 - v_1)}{v_1(200 - v_1)} + 4\] \[\frac{600}{v_1} = \frac{120000 - 1200v_1}{v_1(200 - v_1)} + 4\] \[600(200 - v_1) = 120000 - 1200v_1 + 4v_1(200 - v_1)\] \[120000 - 600v_1 = 120000 - 1200v_1 + 800v_1 - 4v_1^2\] \[4v_1^2 + 600v_1 = 0\] \[4v_1(v_1 + 150) = 0\] Т.к. скорость не может быть отрицательной, то v1 = 0, но это не имеет смысла. Давайте перепроверим исходные уравнения.
- Шаг 13: Пересмотрим уравнения: Пусть t - время до встречи. Тогда: \[\frac{1200}{v_1 + v_2} = t\] \[\frac{1200}{2v_2} = t - 2\] \[\frac{1200}{2v_1} = t + 4\] Выразим v1 и v2: \[v_2 = \frac{600}{t-2}\] \[v_1 = \frac{600}{t+4}\] Подставим в первое уравнение: \[\frac{1200}{\frac{600}{t+4} + \frac{600}{t-2}} = t\] \[\frac{2}{\frac{1}{t+4} + \frac{1}{t-2}} = t\] \[\frac{2}{\frac{t-2+t+4}{(t+4)(t-2)}} = t\] \[\frac{2(t+4)(t-2)}{2t+2} = t\] \[2(t^2+2t-8) = t(2t+2)\] \[2t^2+4t-16 = 2t^2+2t\] \[2t = 16\] \[t=8\]
- Шаг 14: Найдем v1 и v2: \[v_2 = \frac{600}{8-2} = \frac{600}{6} = 100 \text{ км/ч}\] \[v_1 = \frac{600}{8+4} = \frac{600}{12} = 50 \text{ км/ч}\]
Ответ: v1 = 50 км/ч, v2 = 100 км/ч
