Вариант 3 К-9 • 1. Решите систему уравнений: [4x+3y=2, x-4y=-9. • 2. На турбазе имеются палатки и домики, вместе их 25. В каждом домике живут 4 человека, а в палатке - 2. Сколько на турбазе палаток и сколько домиков, если тур- база рассчитана на 70 человек? 3. Решите систему уравнений: (3 (2x+y)-26-3x-2y, 15-(x-3y)= 2x +5. 4. Прямая у = kx + b проходит через точки А (10; -9) и В(-6; 7). Напишите уравнение этой прямой. 5. Выясните, имеет ли решение система: {} 5x-3y=8, 15x-9y=8.

Краткое пояснение:

1. Решение системы уравнений:

Решим систему уравнений методом подстановки:

\[\begin{cases}4x+3y=2, \\ x-4y=-9.\end{cases}\]

Выразим x из второго уравнения: \( x = 4y - 9 \)

Подставим это выражение в первое уравнение: \( 4(4y - 9) + 3y = 2 \)

Раскроем скобки и упростим: \( 16y - 36 + 3y = 2 \)

Приведем подобные слагаемые: \( 19y = 38 \)

Найдем y: \( y = 2 \)

Подставим найденное значение y в выражение для x: \( x = 4(2) - 9 \)

Найдем x: \( x = 8 - 9 = -1 \)

Ответ: x = -1, y = 2

2. Задача про турбазу:

Пусть x - количество домиков, y - количество палаток.

Составим систему уравнений:

\[\begin{cases}x + y = 25, \\ 4x + 2y = 70.\end{cases}\]

Выразим x из первого уравнения: \( x = 25 - y \)

Подставим это выражение во второе уравнение: \( 4(25 - y) + 2y = 70 \)

Раскроем скобки и упростим: \( 100 - 4y + 2y = 70 \)

Приведем подобные слагаемые: \( -2y = -30 \)

Найдем y: \( y = 15 \)

Подставим найденное значение y в выражение для x: \( x = 25 - 15 \)

Найдем x: \( x = 10 \)

Ответ: 10 домиков и 15 палаток.

3. Решение системы уравнений:

Преобразуем систему уравнений:

\[\begin{cases}3(2x+y)-26=3x-2y, \\ 15-(x-3y)=2x+5.\end{cases}\]

Раскроем скобки и упростим первое уравнение: \( 6x + 3y - 26 = 3x - 2y \)

Приведем подобные слагаемые: \( 3x + 5y = 26 \)

Раскроем скобки и упростим второе уравнение: \( 15 - x + 3y = 2x + 5 \)

Приведем подобные слагаемые: \( -3x + 3y = -10 \)

Получим новую систему уравнений:

\[\begin{cases}3x + 5y = 26, \\ -3x + 3y = -10.\end{cases}\]

Сложим первое и второе уравнения: \( 8y = 16 \)

Найдем y: \( y = 2 \)

Подставим найденное значение y в первое уравнение: \( 3x + 5(2) = 26 \)

Упростим и найдем x: \( 3x = 16, x = \frac{16}{3} \)

Ответ: x = \(\frac{16}{3}\), y = 2

4. Уравнение прямой:

Прямая имеет вид \( y = kx + b \). Подставим координаты точек A(10; -9) и B(-6; 7):

Для точки A: \( -9 = 10k + b \)

Для точки B: \( 7 = -6k + b \)

Вычтем из первого уравнения второе: \( -16 = 16k \)

Найдем k: \( k = -1 \)

Подставим k в первое уравнение: \( -9 = 10(-1) + b \)

Найдем b: \( b = 1 \)

Ответ: y = -x + 1

5. Система уравнений:

Рассмотрим систему уравнений:

\[\begin{cases}5x - 3y = 8, \\ 15x - 9y = 8.\end{cases}\]

Умножим первое уравнение на 3: \( 15x - 9y = 24 \)

Получим новую систему уравнений:

\[\begin{cases}15x - 9y = 24, \\ 15x - 9y = 8.\end{cases}\]

Вычтем из первого уравнения второе: \( 0 = 16 \)

Получили противоречие. Ответ: Система не имеет решений.