Вариант 1 К-8 • 1. Упростите выражение: a) (x-3)(x-7)-2x(3x-5); 6) 4а (а-2)-(a-4)²; в) 2(m + 1)²-4m. • 2. Разложите на множители: a) x-9x; 6) -5a²-10ab-562. 3. Упростите выражение (y²-2y)²-y² (y + 3) (y-3) + 2y (2y² + 5). 4. Разложите на множители: a) 16x4-81; б) х²-х-у-у. 5. Докажите, что выражение х2-4х +9 при любых значениях х принимает положительные значения. Вариант ?

1. Упростите выражение:

a) (x-3)(x-7)-2x(3x-5)

• Шаг 1: Раскроем скобки: \( x^2 - 7x - 3x + 21 - 6x^2 + 10x \)
• Шаг 2: Приведем подобные члены: \( x^2 - 6x^2 - 7x - 3x + 10x + 21 \)
• Шаг 3: Упростим: \( -5x^2 - 0x + 21 \)

Ответ: \( -5x^2 + 21 \)

б) 4а (а-2)-(a-4)²

• Шаг 1: Раскроем скобки: \( 4a^2 - 8a - (a^2 - 8a + 16) \)
• Шаг 2: Упростим: \( 4a^2 - 8a - a^2 + 8a - 16 \)
• Шаг 3: Приведем подобные члены: \( 4a^2 - a^2 - 8a + 8a - 16 \)

Ответ: \( 3a^2 - 16 \)

в) 2(m + 1)²-4m

• Шаг 1: Раскроем скобки: \( 2(m^2 + 2m + 1) - 4m \)
• Шаг 2: Упростим: \( 2m^2 + 4m + 2 - 4m \)
• Шаг 3: Приведем подобные члены: \( 2m^2 + 4m - 4m + 2 \)

Ответ: \( 2m^2 + 2 \)

2. Разложите на множители:

a) x³-9x

• Шаг 1: Вынесем общий множитель x за скобки: \( x(x^2 - 9) \)
• Шаг 2: Разложим скобку как разность квадратов: \( x(x - 3)(x + 3) \)

Ответ: \( x(x - 3)(x + 3) \)

б) -5a²-10ab-5b²

• Шаг 1: Вынесем общий множитель -5 за скобки: \( -5(a^2 + 2ab + b^2) \)
• Шаг 2: Разложим скобку как полный квадрат: \( -5(a + b)^2 \)

Ответ: \( -5(a + b)^2 \)

3. Упростите выражение (y²-2y)²-y² (y + 3) (y-3) + 2y (2y² + 5).

• Шаг 1: Раскроем скобки: \( (y^4 - 4y^3 + 4y^2) - y^2(y^2 - 9) + (4y^3 + 10y) \)
• Шаг 2: Упростим: \( y^4 - 4y^3 + 4y^2 - y^4 + 9y^2 + 4y^3 + 10y \)
• Шаг 3: Приведем подобные члены: \( y^4 - y^4 - 4y^3 + 4y^3 + 4y^2 + 9y^2 + 10y \)

Ответ: \( 13y^2 + 10y \)

4. Разложите на множители:

а) 16x⁴-81

• Шаг 1: Представим выражение как разность квадратов: \( (4x^2)^2 - 9^2 \)
• Шаг 2: Разложим как разность квадратов: \( (4x^2 - 9)(4x^2 + 9) \)
• Шаг 3: Разложим первую скобку как разность квадратов: \( (2x - 3)(2x + 3)(4x^2 + 9) \)

Ответ: \( (2x - 3)(2x + 3)(4x^2 + 9) \)

б) x²-x-y²-y

• Шаг 1: Сгруппируем члены: \( (x^2 - y^2) - (x + y) \)
• Шаг 2: Разложим разность квадратов: \( (x - y)(x + y) - (x + y) \)
• Шаг 3: Вынесем общий множитель (x + y) за скобки: \( (x + y)(x - y - 1) \)

Ответ: \( (x + y)(x - y - 1) \)

5. Докажите, что выражение x²-4x+9 при любых значениях x принимает положительные значения.

• Шаг 1: Выделим полный квадрат: \( x^2 - 4x + 4 + 5 \)
• Шаг 2: Преобразуем: \( (x - 2)^2 + 5 \)

Так как квадрат любого числа неотрицателен, то \( (x - 2)^2 \ge 0 \) при любых x.

Следовательно, \( (x - 2)^2 + 5 \ge 5 > 0 \) при любых x.

Вывод: Выражение x²-4x+9 всегда принимает положительные значения при любых значениях x.