Вариант 3 K-4. (§7) • 1. Найдите тридцать второй член арифметической прогрес- сии (ап), если а₁ =65 и d= -2. • 2. Найдите сумму двадцати четырех первых членов арифме- тической прогрессии: 42; 34; 26; .... 3. Найдите сумму восьмидесяти первых членов последова- тельности (bn), заданной формулой в = 2n -5. 4. Является ли число 6,5 членом арифметической прогрессии (ап), в которой а₁ = -2,25 и а = 10,257 5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 9 и не превосходящих 80. Вариант 3 : K-5 ($$8) • 1. Найдите пятый член геометрической прогрессии (бл), если 6=125 и q= • 2. Первый член геометрической прогрессии (6) равен 4, а знаменатель равен 2. Найдите сумму восьми первых членов этой прогрессии. 3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии: 36; -12; 4; ... 4. Найдите сумму восьми первых членов геометрической про- грессии (6) с положительными членами, зная, что 63 = 0,05 и b=0,45.

Вариант 3 К-4 (§7)

1. Найдем тридцать второй член арифметической прогрессии. Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $$a_n = a_1 + (n-1)d$$, где $$a_1$$ - первый член, $$d$$ - разность прогрессии, $$n$$ - номер члена. Подставим известные значения: $$a_{32} = 65 + (32-1)(-2) = 65 + 31(-2) = 65 - 62 = 3$$.
   Ответ: 3
2. Найдем сумму двадцати четырех первых членов арифметической прогрессии 42; 34; 26; ... Для начала найдем разность арифметической прогрессии: $$d = a_2 - a_1 = 34 - 42 = -8$$. Воспользуемся формулой суммы n первых членов арифметической прогрессии: $$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$$. Подставим известные значения: $$S_{24} = \frac{2 \cdot 42 + (24-1)(-8)}{2} \cdot 24 = \frac{84 + 23(-8)}{2} \cdot 24 = (42 - 23 \cdot 4) \cdot 24 = (42 - 92) \cdot 24 = -50 \cdot 24 = -1200$$.
   Ответ: -1200
3. Найдем сумму восьмидесяти первых членов последовательности $$(b_n)$$, заданной формулой $$b_n = 2n - 5$$. Сумма n первых членов арифметической прогрессии: $$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$$. $$b_1 = 2 \cdot 1 - 5 = -3$$. $$b_{80} = 2 \cdot 80 - 5 = 160 - 5 = 155$$. Тогда $$S_{80} = \frac{-3 + 155}{2} \cdot 80 = \frac{152}{2} \cdot 80 = 76 \cdot 80 = 6080$$.
   Ответ: 6080
4. Выясним, является ли число 6,5 членом арифметической прогрессии $$(a_n)$$, в которой $$a_1 = -2,25$$ и $$a_{11} = 10,25$$. Найдем разность арифметической прогрессии: $$d = \frac{a_{11} - a_1}{11 - 1} = \frac{10,25 - (-2,25)}{10} = \frac{12,5}{10} = 1,25$$. Найдем номер члена, равного 6,5: $$a_n = a_1 + (n-1)d$$. $$6,5 = -2,25 + (n-1)1,25$$. $$8,75 = (n-1)1,25$$. $$n-1 = \frac{8,75}{1,25} = 7$$. $$n = 8$$. Так как n целое число, то число 6,5 является 8-м членом арифметической прогрессии.
   Ответ: да, является
5. Найдем сумму всех натуральных чисел, кратных 9 и не превосходящих 80. Натуральные числа, кратные 9 и не превосходящие 80: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72. Это арифметическая прогрессия с первым членом $$a_1 = 9$$, разностью $$d = 9$$ и числом членов $$n = 8$$. Сумма n первых членов арифметической прогрессии: $$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$$. $$a_8 = 72$$. $$S_8 = \frac{9 + 72}{2} \cdot 8 = \frac{81}{2} \cdot 8 = 81 \cdot 4 = 324$$.
   Ответ: 324

Вариант 3 К-5 (§8)

1. Найдем пятый член геометрической прогрессии $$(b_n)$$, если $$b_1 = -125$$ и $$q = \frac{1}{5}$$. $$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$$. $$b_5 = -125 \cdot (\frac{1}{5})^{5-1} = -125 \cdot (\frac{1}{5})^4 = -125 \cdot \frac{1}{625} = -\frac{1}{5} = -0,2$$.
   Ответ: -0,2
2. Первый член геометрической прогрессии $$(b_n)$$ равен 4, а знаменатель равен 2. Найдем сумму восьми первых членов этой прогрессии. $$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$$. $$S_8 = \frac{4(2^8 - 1)}{2 - 1} = 4(256 - 1) = 4 \cdot 255 = 1020$$.
   Ответ: 1020
3. Найдем сумму бесконечной геометрической прогрессии: 36; -12; 4; ... $$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-12}{36} = -\frac{1}{3}$$. Сумма бесконечной геометрической прогрессии: $$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{36}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{36}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{36}{\frac{4}{3}} = 36 \cdot \frac{3}{4} = 9 \cdot 3 = 27$$.
   Ответ: 27
4. Найдем сумму восьми первых членов геометрической прогрессии $$(b_n)$$ с положительными членами, зная, что $$b_3 = 0,05$$ и $$b_5 = 0,45$$. $$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$$. $$b_3 = b_1 \cdot q^2 = 0,05$$. $$b_5 = b_1 \cdot q^4 = 0,45$$. Разделим второе уравнение на первое: $$\frac{b_1 \cdot q^4}{b_1 \cdot q^2} = \frac{0,45}{0,05}$$. $$q^2 = 9$$. $$q = \pm 3$$. Так как члены положительные, то q = 3. $$b_1 \cdot 3^2 = 0,05$$. $$b_1 = \frac{0,05}{9} = \frac{5}{900} = \frac{1}{180}$$. $$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$$. $$S_8 = \frac{\frac{1}{180}(3^8 - 1)}{3 - 1} = \frac{\frac{1}{180}(6561 - 1)}{2} = \frac{6560}{360} = \frac{656}{36} = \frac{164}{9} = 18\frac{2}{9}$$.
   Ответ: $$18\frac{2}{9}$$