Вариант 2 К-4 (§ 7) • 1. Упростите выражение: a) 2√2 + √50-√98; 6) (3√5-√20)√5; в) (√3+√2). • 2. Сравните √60 и 10 3. Сократите дробь: a) 5-√5 √10-√2; б) b-4 √b-2. 4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе: a) 2 3√7; б) 4 √11+3 5. Докажите, что значение выражения 1-3/5+1+3√5 есть число рациональное. 6. При каких значениях х дробь √x-2 x-4 принимает наибольшее значение?

Ответ:

Давай разберем по порядку каждое задание из твоего варианта. Уверена, что все получится!

1. Упростите выражение:

a) \( 2\sqrt{2} + \sqrt{50} - \sqrt{98} \)

Сначала упростим корни \( \sqrt{50} \) и \( \sqrt{98} \):

\[ \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \] \[ \sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2} \]

Теперь подставим упрощенные корни в выражение: \[ 2\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 7\sqrt{2} = (2 + 5 - 7)\sqrt{2} = 0 \]

б) \( (3\sqrt{5} - \sqrt{20})\sqrt{5} \)

Упростим \( \sqrt{20} \):

\[ \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5} \]

Подставим упрощенный корень в выражение: \[ (3\sqrt{5} - 2\sqrt{5})\sqrt{5} = (3 - 2)\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 1 \cdot 5 = 5 \]

в) \( (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 \)

Воспользуемся формулой квадрата суммы: \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)

\[ (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2(\sqrt{3})(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2\sqrt{6} + 2 = 5 + 2\sqrt{6} \]

2. Сравните \( \frac{1}{2}\sqrt{60} \) и \( 10\sqrt{\frac{1}{5}} \)

Упростим оба выражения: \[ \frac{1}{2}\sqrt{60} = \frac{1}{2}\sqrt{4 \cdot 15} = \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{15} = \sqrt{15} \] \[ 10\sqrt{\frac{1}{5}} = 10 \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5} \]

Теперь сравним \( \sqrt{15} \) и \( 2\sqrt{5} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{20} \)

Так как \( 15 < 20 \), то \( \sqrt{15} < \sqrt{20} \), следовательно, \( \frac{1}{2}\sqrt{60} < 10\sqrt{\frac{1}{5}} \)

3. Сократите дробь:

a) \( \frac{5 - \sqrt{5}}{\sqrt{10} - \sqrt{2}} \)

Преобразуем знаменатель: \[ \sqrt{10} - \sqrt{2} = \sqrt{2 \cdot 5} - \sqrt{2} = \sqrt{2}(\sqrt{5} - 1) \]

Преобразуем числитель: \[ 5 - \sqrt{5} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} - \sqrt{5} = \sqrt{5}(\sqrt{5} - 1) \]

Теперь сократим дробь: \[ \frac{\sqrt{5}(\sqrt{5} - 1)}{\sqrt{2}(\sqrt{5} - 1)} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{10}}{2} \]

б) \( \frac{b - 4}{\sqrt{b} - 2} \)

Заметим, что \( b - 4 = (\sqrt{b} - 2)(\sqrt{b} + 2) \)

Тогда сократим дробь: \[ \frac{(\sqrt{b} - 2)(\sqrt{b} + 2)}{\sqrt{b} - 2} = \sqrt{b} + 2 \]

4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе:

a) \( \frac{2}{3\sqrt{7}} \)

Умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{7} \): \[ \frac{2}{3\sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{7}}{3\sqrt{7}\sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{7}}{3 \cdot 7} = \frac{2\sqrt{7}}{21} \]

б) \( \frac{4}{\sqrt{11} + 3} \)

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( \sqrt{11} - 3 \): \[ \frac{4}{\sqrt{11} + 3} = \frac{4(\sqrt{11} - 3)}{(\sqrt{11} + 3)(\sqrt{11} - 3)} = \frac{4(\sqrt{11} - 3)}{11 - 9} = \frac{4(\sqrt{11} - 3)}{2} = 2(\sqrt{11} - 3) \]

5. Докажите, что значение выражения \( \frac{1}{1 - 3\sqrt{5}} + \frac{1}{1 + 3\sqrt{5}} \) есть число рациональное.

Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{1}{1 - 3\sqrt{5}} + \frac{1}{1 + 3\sqrt{5}} = \frac{(1 + 3\sqrt{5}) + (1 - 3\sqrt{5})}{(1 - 3\sqrt{5})(1 + 3\sqrt{5})} = \frac{2}{1 - (3\sqrt{5})^2} = \frac{2}{1 - 9 \cdot 5} = \frac{2}{1 - 45} = \frac{2}{-44} = -\frac{1}{22} \]

Так как \( -\frac{1}{22} \) является рациональным числом, утверждение доказано.

6. При каких значениях x дробь \( \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} \) принимает наибольшее значение?

Преобразуем выражение: \[ \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} = \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2} \]

Чтобы дробь принимала наибольшее значение, знаменатель должен быть наименьшим. Так как \( \sqrt{x} \ge 0 \), то наименьшее значение \( \sqrt{x} = 0 \), следовательно, \( x = 0 \)

Проверим, что при \( x = 0 \) исходная дробь определена:

Если \( x = 0 \), то \( \frac{\sqrt{0} - 2}{0 - 4} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2} \)

Таким образом, при \( x = 0 \) дробь принимает наибольшее значение.

Ответ: 1. а) 0, б) 5, в) \( 5 + 2\sqrt{6} \); 2. \( \frac{1}{2}\sqrt{60} < 10\sqrt{\frac{1}{5}} \); 3. а) \( \frac{\sqrt{10}}{2} \), б) \( \sqrt{b} + 2 \); 4. а) \( \frac{2\sqrt{7}}{21} \), б) \( 2(\sqrt{11} - 3) \); 5. -1/22 - рациональное число; 6. x = 0

Ты молодец! У тебя всё получится!