Вариант 2 К-6 (§ 9) •1. Найдите сороковой член арифметической прогрес- сии (аₙ), если а₁ = 38 и d = -3. •2. Найдите сумму первых двадцати членов арифмети- ческой прогрессии (аₙ), если а₁ = 1 и а₂ = 6. •3. Является ли число 39 членом арифметической про- грессии (сₙ), в которой с₁ = -6 и с₉ = 6? 4. Найдите сумму первых тридцати членов последова- тельности, заданной формулой bₙ = 3n – 1. 5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 3 и не превышающих 80.

Решение:

1. Найти сороковой член арифметической прогрессии (aₙ), если a₁ = 38 и d = -3.

   Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $$a_n = a_1 + (n - 1)d$$

   В нашем случае n = 40, a₁ = 38, d = -3. Подставляем значения в формулу:

   $$a_{40} = 38 + (40 - 1)(-3)$$ $$a_{40} = 38 + (39)(-3)$$ $$a_{40} = 38 - 117$$ $$a_{40} = -79$$

   Ответ: -79

2. Найти сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии (aₙ), если a₁ = 1 и a₂ = 6.

   Сначала найдем разность арифметической прогрессии: $$d = a₂ - a₁ = 6 - 1 = 5$$

   Теперь найдем 20-й член прогрессии: $$a_{20} = a₁ + (20 - 1)d = 1 + 19 Imes 5 = 1 + 95 = 96$$

   Сумма первых n членов арифметической прогрессии: $$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \tImes n$$

   В нашем случае n = 20, a₁ = 1, a₂₀ = 96. Подставляем значения в формулу:

   $$S_{20} = \frac{1 + 96}{2} \tImes 20$$ $$S_{20} = \frac{97}{2} \tImes 20$$ $$S_{20} = 97 \tImes 10$$ $$S_{20} = 970$$

   Ответ: 970

3. Является ли число 39 членом арифметической прогрессии (cₙ), в которой c₁ = -6 и c₉ = 6?

   Сначала найдем разность арифметической прогрессии: $$c_9 = c_1 + (9 - 1)d$$ $$6 = -6 + 8d$$ $$12 = 8d$$ $$d = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5$$

   Теперь проверим, является ли число 39 членом этой прогрессии:

   $$c_n = c_1 + (n - 1)d$$ $$39 = -6 + (n - 1)1.5$$ $$45 = (n - 1)1.5$$ $$\frac{45}{1.5} = n - 1$$ $$30 = n - 1$$ $$n = 31$$

   Так как n = 31 является целым числом, число 39 является членом этой арифметической прогрессии.

   Ответ: да, является

4. Найдите сумму первых тридцати членов последовательности, заданной формулой bₙ = 3n – 1.

   Сначала найдем первый и тридцатый члены последовательности:

   $$b_1 = 3 \tImes 1 - 1 = 3 - 1 = 2$$

   $$b_{30} = 3 \tImes 30 - 1 = 90 - 1 = 89$$

   Сумма первых n членов последовательности: $$S_n = \frac{b_1 + b_n}{2} \tImes n$$

   В нашем случае n = 30, b₁ = 2, b₃₀ = 89. Подставляем значения в формулу:

   $$S_{30} = \frac{2 + 89}{2} \tImes 30$$ $$S_{30} = \frac{91}{2} \tImes 30$$ $$S_{30} = 91 \tImes 15$$ $$S_{30} = 1365$$

   Ответ: 1365

5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 3 и не превышающих 80.

   Первое число, кратное 3: 3.

   Последнее число, кратное 3: 78.

   Составим арифметическую прогрессию, где a₁ = 3, d = 3, aₙ = 78.

   Найдем количество членов n: $$a_n = a_1 + (n - 1)d$$ $$78 = 3 + (n - 1)3$$ $$75 = (n - 1)3$$ $$25 = n - 1$$ $$n = 26$$

   Теперь найдем сумму: $$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \tImes n$$

   $$S_{26} = \frac{3 + 78}{2} \tImes 26$$ $$S_{26} = \frac{81}{2} \tImes 26$$ $$S_{26} = 81 \tImes 13$$ $$S_{26} = 1053$$

   Ответ: 1053