Вариант 3 К-4 (§ 6) •1. Решите неравенство: a) 2x² - 13x + 6 < 0; б) x2 > 9; в) 3x2 - 6x + 32 > 0. •2. Решите неравенство, используя метод интервалов: (x + 8) (x - 4) (x + 1) > 0. 3. При каких значениях р уравнение 2x² + px + 2 = 0 имеет два корня? 4. Решите неравенство: 5x+1 x-2 a) < 0; б) ≥ 2. x-6 x +4 5. Найдите область определения функции: a) y = √2x-3x²; 2 B) y = √7x-x² + √6-5x. x² + 6x +8 б) у = -;

Решение:

1. Решите неравенство:

a) $$2x^2 - 13x + 6 < 0$$

Найдем корни квадратного уравнения $$2x^2 - 13x + 6 = 0$$

$$D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 169 - 48 = 121$$

$$x_1 = \frac{13 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{13 - 11}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$; $$x_2 = \frac{13 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{13 + 11}{4} = \frac{24}{4} = 6$$

$$2(x - \frac{1}{2})(x - 6) < 0$$

$$x \in (\frac{1}{2}; 6)$$

Ответ: $$x \in (\frac{1}{2}; 6)$$.

б) $$x^2 > 9$$

$$x^2 - 9 > 0$$

$$(x - 3)(x + 3) > 0$$

$$x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$$

Ответ: $$x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$$.

в) $$3x^2 - 6x + 32 > 0$$

$$3(x^2 - 2x + \frac{32}{3}) > 0$$

$$x^2 - 2x + \frac{32}{3} > 0$$

$$x^2 - 2x + 1 + \frac{32}{3} - 1 > 0$$

$$(x - 1)^2 + \frac{29}{3} > 0$$

Т.к. квадрат любого числа всегда больше или равен нулю, то данное неравенство выполняется при любом x.

Ответ: $$x \in R$$.

2. Решите неравенство, используя метод интервалов:

$$(x + 8)(x - 4)(x + 1) > 0$$

Корни: $$-8, -1, 4$$

+        -       +        -       
----(-8)----(-1)----(4)---->

$$x \in (-8; -1) \cup (4; +\infty)$$

Ответ: $$x \in (-8; -1) \cup (4; +\infty)$$.

3. При каких значениях p уравнение $$2x^2 + px + 2 = 0$$ имеет два корня?

Уравнение имеет два корня, когда дискриминант больше нуля:

$$D = p^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 > 0$$

$$p^2 - 16 > 0$$

$$(p - 4)(p + 4) > 0$$

$$p \in (-\infty; -4) \cup (4; +\infty)$$

Ответ: $$p \in (-\infty; -4) \cup (4; +\infty)$$.

4. Решите неравенство:

a) $$\frac{5x + 1}{x - 6} < 0$$

Корни: $$x = -\frac{1}{5}, x = 6$$

+        -        +        
----(-1/5)-----(6)---->

$$x \in (-\frac{1}{5}; 6)$$

Ответ: $$x \in (-\frac{1}{5}; 6)$$.

б) $$\frac{x - 2}{x + 4} \geq 2$$

$$\frac{x - 2}{x + 4} - 2 \geq 0$$

$$\frac{x - 2 - 2(x + 4)}{x + 4} \geq 0$$

$$\frac{x - 2 - 2x - 8}{x + 4} \geq 0$$

$$\frac{-x - 10}{x + 4} \geq 0$$

$$\frac{x + 10}{x + 4} \leq 0$$

Корни: $$x = -10, x = -4$$

+        -        +        
----(-10)----(-4)---->

$$x \in [-10; -4)$$

Ответ: $$x \in [-10; -4)$$.

5. Найдите область определения функции:

a) $$y = \sqrt{2x - 3x^2}$$

$$2x - 3x^2 \geq 0$$

$$x(2 - 3x) \geq 0$$

$$x \in [0; \frac{2}{3}]$$

Ответ: $$x \in [0; \frac{2}{3}]$$.

б) $$y = \frac{\sqrt{x^2 + 6x + 8}}{3x + 18}$$;

1) $$x^2 + 6x + 8 \geq 0$$

$$x^2 + 6x + 9 - 1 \geq 0$$

$$(x + 3)^2 - 1 \geq 0$$

$$(x + 3 - 1)(x + 3 + 1) \geq 0$$

$$(x + 2)(x + 4) \geq 0$$

+        -        +        
----(-4)----(-2)---->

$$x \in (-\infty; -4] \cup [-2; +\infty)$$

2) $$3x + 18
eq 0$$

$$x
eq -6$$

Учитывая оба условия:

$$x \in (-\infty; -6) \cup (-6; -4] \cup [-2; +\infty)$$

Ответ: $$x \in (-\infty; -6) \cup (-6; -4] \cup [-2; +\infty)$$.

B) $$y = \sqrt{7x - x^2} + \sqrt{6 - 5x}$$.

1) $$7x - x^2 \geq 0$$

$$x(7 - x) \geq 0$$

$$x \in [0; 7]$$

2) $$6 - 5x \geq 0$$

$$5x \leq 6$$

$$x \leq \frac{6}{5}$$

Учитывая оба условия:

$$x \in [0; \frac{6}{5}]$$

Ответ: $$x \in [0; \frac{6}{5}]$$.