Вариант 3 К-2 (§ 3, 4) •1. Постройте график функции у = х² - 4х – 5. Найди- те с помощью графика: а) значение у при х = 0,5; б) значения х, при которых у = 3; в) нули функции; промежутки, в которых у > 0 и в ко- торых у < 0; г) промежуток, в котором функция возрастает. •2. Найдите наименьшее значение функции y = x² + 2x - 24. - 3. Найдите область значений функции у = х² – 2x – 8, где х є [-1; 3]. 10 x2 4. Не выполняя построения, определите, пересекаются ли парабола у = и прямая у = 6х 15. Если точки пе- ресечения существуют, то найдите их координатылад 5. Найдите значение выражения 3 -417 27 +643 4313 81

Решение.

1.

$$y = x^2 - 4x - 5$$

График функции - парабола, ветви направлены вверх, так как коэффициент при x² больше 0.

Найдем координаты вершины параболы:

$$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$$

$$y_в = (2)^2 - 4 \cdot 2 - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$$

Вершина параболы (2; -9)

Найдем нули функции:

$$x^2 - 4x - 5 = 0$$

$$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$$

$$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 6}{2} = 5$$

$$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 6}{2} = -1$$

Нули функции: x = 5 и x = -1

Дополнительные точки для построения графика:

Если x = 0, то y = -5

Если x = 1, то y = 1 - 4 - 5 = -8

  +--------------------------------------------------+
  |                                                  |
  |                ^                                 |
  |                |                                 |
  |                |                                 |
  |                |                                 |
  |               -5                                 |
  |                |                                 |
  |                |                                 |
  |              -8+                                 |
  |                |                                 |
  |             -9 +---* (2;-9)                      |
  |                |   \                             |
  |                |    \                            |
  |                |     \                           |
  |     (-1;0) *---+------* (5;0)-------------------->
  |                |      /                           |
  |                |     /                            |
  |                |    /                             |
  +--------------------------------------------------+

а) При x = 0,5:

$$y = (0.5)^2 - 4 \cdot 0.5 - 5 = 0.25 - 2 - 5 = -6.75$$

б) y = 3:

$$x^2 - 4x - 5 = 3$$

$$x^2 - 4x - 8 = 0$$

$$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 16 + 32 = 48$$

$$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{48}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 4\sqrt{3}}{2} = 2 + 2\sqrt{3} \approx 5.46$$

$$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{48}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 4\sqrt{3}}{2} = 2 - 2\sqrt{3} \approx -1.46$$

в) Нули функции: x = 5 и x = -1

y > 0 при x < -1 и x > 5

y < 0 при -1 < x < 5

г) Функция возрастает при x > 2

Ответ: а) -6.75; б) $$2 \pm 2\sqrt{3}$$; в) x = -1 и x = 5; y > 0 при x < -1 и x > 5; y < 0 при -1 < x < 5; г) x > 2

2.

$$y = x^2 + 2x - 24$$

Найдем вершину параболы:

$$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$$

$$y_в = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) - 24 = 1 - 2 - 24 = -25$$

Наименьшее значение функции y = -25

Ответ: -25

3.

$$y = x^2 - 2x - 8$$

Рассмотрим функцию на отрезке x є [-1; 3]

Найдем вершину параболы:

$$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$$

$$y_в = (1)^2 - 2 \cdot 1 - 8 = 1 - 2 - 8 = -9$$

y(-1) = (-1)² - 2(-1) - 8 = 1 + 2 - 8 = -5

y(3) = (3)² - 2(3) - 8 = 9 - 6 - 8 = -5

Область значений функции: [-9; -5]

Ответ: [-9; -5]

4.

$$\begin{cases} y = \frac{1}{3}x^2 \\ y = 6x - 15 \end{cases}$$

$$\frac{1}{3}x^2 = 6x - 15$$

$$x^2 = 18x - 45$$

$$x^2 - 18x + 45 = 0$$

$$D = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 45 = 324 - 180 = 144$$

$$x_1 = \frac{-(-18) + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{18 + 12}{2} = 15$$

$$x_2 = \frac{-(-18) - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{18 - 12}{2} = 3$$

Если x = 15, то y = 6(15) - 15 = 90 - 15 = 75

Если x = 3, то y = 6(3) - 15 = 18 - 15 = 3

Точки пересечения: (15; 75) и (3; 3)

Ответ: (15; 75) и (3; 3)

5.

$$\sqrt[3]{-\frac{4}{27}} + 6 \sqrt[3]{\frac{13}{81}} = \sqrt[3]{\frac{-4}{27}} + 6 \sqrt[3]{\frac{13}{3^4}} = \sqrt[3]{\frac{-4}{3^3}} + 6 \cdot \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{13}{3}} = -\frac{\sqrt[3]{4}}{3} + 2\sqrt[3]{\frac{13}{3}} = \frac{-\sqrt[3]{4} + 2 \sqrt[3]{13}}{3}$$

Преобразуем:

$$\frac{-\sqrt[3]{4} + 2 \sqrt[3]{13}}{3} = \frac{-\sqrt[3]{4} + 2\sqrt[3]{13}}{3} = \frac{2\sqrt[3]{13}-\sqrt[3]{4}}{3}$$

Ответ:$$\frac{2\sqrt[3]{13}-\sqrt[3]{4}}{3}$$