Вариант 4 К-8 (§ 11, 12) •1. Сколькими способами можно составить расписание уро- ков на понедельник, когда изучаются литература, алгебра, гео- метрия, история, география, причем сдвоенных уроков нет? •2. Сколько прямых можно провести через 10 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой? •3. Из 30 участников собрания надо выбрать председа- теля, его заместителя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать? .... •4. В пакете лежат жетоны с номерами 1, 2, 3, .., 20. Наугад берут один жетон. Какова вероятность того, что номер, написанный на нем, будет простым числом? 5. Из 10 юношей и 12 девушек, прибывших на сорев- нования по теннису, тренер должен выделить 2 юношей и 2 девушек для участия в соревнованиях пар. Сколькими способами он может это сделать? a 6. На четырех карточках написаны буквы «б», «у», «к», «м». Карточки перевернули и перемешали. Затем наугад последовательно положили эти карточки в ряд одну за другой и открыли. Какова вероятность того, что в результате получится слово «мука» или «кума»?

• 1. Необходимо составить расписание уроков на понедельник из предметов: литература, алгебра, геометрия, история, география. При этом сдвоенных уроков нет. Следовательно, каждый предмет изучается один раз. Количество способов составить расписание равно количеству перестановок из 5 элементов. $$P = 5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$$
• 2. Необходимо определить, сколько прямых можно провести через 10 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Каждая прямая определяется двумя точками. Количество способов выбрать 2 точки из 10 равно числу сочетаний из 10 по 2. $$C_{10}^2 = \frac{10!}{2! \cdot (10-2)!} = \frac{10!}{2! \cdot 8!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$$
• 3. Необходимо выбрать председателя, заместителя и секретаря из 30 участников собрания. Важен порядок выбора, поэтому нужно вычислить число размещений из 30 по 3. $$A_{30}^3 = \frac{30!}{(30-3)!} = \frac{30!}{27!} = 30 \cdot 29 \cdot 28 = 24360$$
• 4. В пакете лежат жетоны с номерами от 1 до 20. Необходимо определить вероятность того, что номер наугад взятого жетона будет простым числом. Простые числа в диапазоне от 1 до 20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Всего 8 простых чисел. Общее количество жетонов равно 20. Вероятность выбрать жетон с простым числом: $$P = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} = 0,4$$
• 5. На соревнования по теннису прибыли 10 юношей и 12 девушек. Тренер должен выделить 2 юношей и 2 девушек для участия в соревнованиях пар. Нужно определить, сколькими способами он может это сделать. Необходимо выбрать 2 юношей из 10 и 2 девушек из 12. Количество способов выбрать 2 юношей из 10: $$C_{10}^2 = \frac{10!}{2! \cdot 8!} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45$$ Количество способов выбрать 2 девушек из 12: $$C_{12}^2 = \frac{12!}{2! \cdot 10!} = \frac{12 \cdot 11}{2} = 66$$ Общее количество способов: $$45 \cdot 66 = 2970$$
• 6. На четырех карточках написаны буквы «м», «у», «к», «а». Карточки перевернули, перемешали и наугад положили в ряд. Нужно определить вероятность того, что получится слово «мука» или «кума». Всего существует 4! = 24 способа расположить карточки. Слова «мука» и «кума» получаются только одним способом каждое. Следовательно, вероятность: $$P = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}$$

Ответ:

• 1. 120
• 2. 45
• 3. 24360
• 4. 0,4
• 5. 2970
• 6. 1/12