Вариант 3 К-7 (§ 10) *1. Найдите шестой член геометрической прогрессии (6), если б₁ = 0,81 и q=- -1. •2. Последовательность (б) — геометрическая прогрес- сия, в которой 65 = 432 и q = √6. Найдите 61. •3. Найдите сумму первых восьми членов геометриче- ской прогрессии (6), в которой в₁ = 16 и q = 2. 4. Известны два члена геометрической прогрессии: b3 = 4,8 и 66 = 38,4. Найдите ее первый член. 5. Сумма первых трех членов геометрической прогрес- сии равна -105, знаменатель прогрессии равен 4. Найдите сумму первых пяти членов этой прогрессии. Вариант 4 К-7 (§ 10) •1. Найдите пятый член геометрической прогрессии (6), если в₁ = 125 и q= 0,2. •2. Последовательность (6) геометрическая прогрес- сия, в которой 65 = 27 и q= √3. Найдите 61. •3. Найдите сумму первых девяти членов геометриче- ской прогрессии (6), в которой 62 = 0,08 и b = 0,64. 4. Известны два члена геометрической прогрессии: b3 = 14,4 и b = 388,8. Найдите ее первый член. 1 5. Сумма первых трех членов геометрической прогрес- сии равна 28, знаменатель прогрессии равен 5. Найдите сумму первых семи членов этой прогрессии.

Вариант 3

1. Найдем шестой член геометрической прогрессии \[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \] Тогда \[ b_6 = 0.81 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^{6-1} = 0.81 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^5 = 0.81 \cdot \left(-\frac{1}{243}\right) = -\frac{0.81}{243} = -\frac{81}{24300} = -\frac{1}{300} = -0.00333... \]

2. Последовательность (bₙ) — геометрическая прогрессия, в которой b₅ = 432 и q = √6. Найдите b₁. \[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \] Тогда \[ b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} \Rightarrow b_1 = \frac{b_5}{q^4} = \frac{432}{(\sqrt{6})^4} = \frac{432}{36} = 12 \]

3. Найдите сумму первых восьми членов геометрической прогрессии (bₙ), в которой b₁ = 16 и q = 2. \[ S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} \] Тогда \[ S_8 = \frac{16(2^8 - 1)}{2 - 1} = 16(256 - 1) = 16 \cdot 255 = 4080 \]

4. Известны два члена геометрической прогрессии: b₃ = 4,8 и b₆ = 38,4. Найдите ее первый член. \[ b_3 = b_1 \cdot q^2 \] \[ b_6 = b_1 \cdot q^5 \] Разделим b₆ на b₃: \[ \frac{b_6}{b_3} = \frac{b_1 \cdot q^5}{b_1 \cdot q^2} = q^3 \Rightarrow q^3 = \frac{38.4}{4.8} = 8 \Rightarrow q = \sqrt[3]{8} = 2 \] Теперь найдем b₁: \[ b_3 = b_1 \cdot q^2 \Rightarrow b_1 = \frac{b_3}{q^2} = \frac{4.8}{2^2} = \frac{4.8}{4} = 1.2 \]

5. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна -105, знаменатель прогрессии равен 4. Найдите сумму первых пяти членов этой прогрессии. \[ S_3 = \frac{b_1(q^3 - 1)}{q - 1} \] \[ -105 = \frac{b_1(4^3 - 1)}{4 - 1} = \frac{b_1(64 - 1)}{3} = \frac{63b_1}{3} = 21b_1 \Rightarrow b_1 = \frac{-105}{21} = -5 \] Теперь найдем сумму первых пяти членов: \[ S_5 = \frac{b_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{-5(4^5 - 1)}{4 - 1} = \frac{-5(1024 - 1)}{3} = \frac{-5 \cdot 1023}{3} = -5 \cdot 341 = -1705 \]

Вариант 4

1. Найдите пятый член геометрической прогрессии (bₙ), если b₁ = -125 и q = 0,2. \[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \] Тогда \[ b_5 = -125 \cdot (0.2)^{5-1} = -125 \cdot (0.2)^4 = -125 \cdot 0.0016 = -0.2 \]

2. Последовательность (bₙ) — геометрическая прогрессия, в которой b₅ = 27 и q = √3. Найдите b₁. \[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \] Тогда \[ b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} \Rightarrow b_1 = \frac{b_5}{q^4} = \frac{27}{(\sqrt{3})^4} = \frac{27}{9} = 3 \]

3. Найдите сумму первых девяти членов геометрической прогрессии (bₙ), в которой b₂ = 0,08 и b₅ = 0,64. \[ b_2 = b_1 \cdot q \] \[ b_5 = b_1 \cdot q^4 \] Разделим b₅ на b₂: \[ \frac{b_5}{b_2} = \frac{b_1 \cdot q^4}{b_1 \cdot q} = q^3 \Rightarrow q^3 = \frac{0.64}{0.08} = 8 \Rightarrow q = \sqrt[3]{8} = 2 \] Теперь найдем b₁: \[ b_2 = b_1 \cdot q \Rightarrow b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{0.08}{2} = 0.04 \] Сумма первых девяти членов: \[ S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} \] Тогда \[ S_9 = \frac{0.04(2^9 - 1)}{2 - 1} = 0.04(512 - 1) = 0.04 \cdot 511 = 20.44 \]

4. Известны два члена геометрической прогрессии: b₂ = 14,4 и b₆ = 388,8. Найдите ее первый член. \[ b_2 = b_1 \cdot q \] \[ b_6 = b_1 \cdot q^5 \] Разделим b₆ на b₂: \[ \frac{b_6}{b_2} = \frac{b_1 \cdot q^5}{b_1 \cdot q} = q^4 \Rightarrow q^4 = \frac{388.8}{14.4} = 27 \Rightarrow q = \sqrt[4]{27} = \sqrt{3\sqrt{3}} \] Теперь найдем b₁: \[ b_2 = b_1 \cdot q \Rightarrow b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{14.4}{\sqrt{3\sqrt{3}}} = \frac{14.4}{\sqrt{3} \cdot 3^{1/4}} \approx 8.314 \]

5. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 28, знаменатель прогрессии равен \(\frac{1}{2}\). Найдите сумму первых семи членов этой прогрессии. \[ S_3 = \frac{b_1(q^3 - 1)}{q - 1} \] \[ 28 = \frac{b_1((\frac{1}{2})^3 - 1)}{\frac{1}{2} - 1} = \frac{b_1(\frac{1}{8} - 1)}{-\frac{1}{2}} = \frac{b_1(-\frac{7}{8})}{-\frac{1}{2}} = \frac{7b_1}{4} \Rightarrow b_1 = \frac{28 \cdot 4}{7} = 16 \] Теперь найдем сумму первых семи членов: \[ S_7 = \frac{b_1(q^7 - 1)}{q - 1} = \frac{16((\frac{1}{2})^7 - 1)}{\frac{1}{2} - 1} = \frac{16(\frac{1}{128} - 1)}{-\frac{1}{2}} = \frac{16(-\frac{127}{128})}{-\frac{1}{2}} = \frac{127}{4} = 31.75 \]

Проверка за 10 секунд: Убедись, что правильно использовал формулы для n-го члена и суммы n первых членов геометрической прогрессии.

Читерский прием: Всегда проверяй свои ответы на соответствие здравому смыслу и условиям задачи, чтобы избежать глупых ошибок.