Вариант К—1, В—1. 1. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O. Найдите угол между диагоналями, если ∠ABO = 30°. 2. В параллелограмме KMNP проведена биссектриса угла K, которая пересекает сторону MN в точке E. а) Докажите, что треугольник KME равнобедренный. б) Найдите сторону KP, если ME = 10 см, а периметр параллелограмма равен 52 см.

1. Диагонали прямоугольника образуют с параллельными сторонами равные углы. Поэтому одна диагональ отклоняется от стороны AB на 30° в одну сторону, а другая — на 30° в другую.

Меньший угол между диагоналями равен 30° + 30° = 60°.

Ответ: 60° (второй угол при пересечении диагоналей — 120°).

2а. Так как KE — биссектриса угла K, то ∠MKE = ∠EKP. Стороны MN и KP параллельны, поэтому ∠EKP = ∠KEM. Следовательно, ∠MKE = ∠KEM, и противоположные этим углам стороны равны: KM = ME. Значит, треугольник KME равнобедренный.

2б. Из доказанного KM = ME = 10 см. Периметр параллелограмма равен 2(KM + KP), поэтому 52 = 2(10 + KP), откуда KP = 16 см.

Ответ: KP = 16 см.