Вариант К—1, В—2. 1. Диагонали ромба KMNP пересекаются в точке O. Найдите углы треугольника KMO, если ∠MNP = 80°. 2. На стороне BC параллелограмма ABCD взята точка M так, что AB = BM. а) Докажите, что AM — биссектриса угла BAD. б) Найдите периметр параллелограмма, если CD = 8 см, CM = 4 см.

1. В ромбе соседние углы в сумме дают 180°, поэтому ∠M = 180° − 80° = 100°, а ∠K = ∠N = 80°. Диагональ MP делит угол M пополам, значит ∠KMO = 50°. Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому ∠KOM = 90°. Тогда ∠MKO = 180° − 50° − 90° = 40°.

Ответ: ∠KMO = 50°, ∠KOM = 90°, ∠MKO = 40°.

2а. В параллелограмме AB ∥ CD и BC ∥ AD. Из условия AB = BM следует, что треугольник ABM равнобедренный, поэтому ∠BAM = ∠AMB. Поскольку BM ∥ AD, угол ∠AMB равен углу между AM и AD, то есть ∠MAD. Следовательно, ∠BAM = ∠MAD, поэтому AM — биссектриса угла BAD.

2б. Противоположные стороны параллелограмма равны: AB = CD = 8 см. Тогда BM = 8 см, а BC = BM + CM = 8 + 4 = 12 см. Периметр равен 2(AB + BC) = 2(8 + 12) = 40 см.

Ответ: 40 см.