Вариант 4 К-6А (§ 30-32) 18 • 1. Решите уравнение x - x-5 46 =1. • 2. Решите систему уравнений { 7x-y=5, xy=18. 3. Теплоход прошел 54 км по течению реки и 42 км против течения, затратив на весь путь 4 ч. Какова ско- рость теплохода в стоячей воде, если известно, что ско- рость течения реки равна 3 км/ч?

1. Решение уравнения

\[\frac{18}{x} - \frac{46}{x-5} = 1\] Умножаем обе части уравнения на x(x-5), чтобы избавиться от знаменателей: \[18(x-5) - 46x = x(x-5)\] Раскрываем скобки: \[18x - 90 - 46x = x^2 - 5x\] Приводим подобные слагаемые и переносим все в одну сторону: \[x^2 - 5x - 18x + 46x + 90 = 0\] \[x^2 + 23x + 90 = 0\] Решаем квадратное уравнение через дискриминант: \[D = 23^2 - 4 \cdot 1 \cdot 90 = 529 - 360 = 169\] \[x_1 = \frac{-23 + \sqrt{169}}{2} = \frac{-23 + 13}{2} = \frac{-10}{2} = -5\] \[x_2 = \frac{-23 - \sqrt{169}}{2} = \frac{-23 - 13}{2} = \frac{-36}{2} = -18\] Проверка: Если x = -5, то в исходном уравнении будет деление на ноль, так как \(x-5 = -5-5 = -10\). Следовательно, x = -5 не является решением. Если x = -18: \[\frac{18}{-18} - \frac{46}{-18-5} = -1 - \frac{46}{-23} = -1 + 2 = 1\] Таким образом, x = -18 является решением.

Ответ: -18

2. Решение системы уравнений

\[\begin{cases} 7x - y = 5 \\ xy = 18 \end{cases}\] Выражаем y из первого уравнения: \[y = 7x - 5\] Подставляем y во второе уравнение: \[x(7x - 5) = 18\] \[7x^2 - 5x = 18\] \[7x^2 - 5x - 18 = 0\] Решаем квадратное уравнение через дискриминант: \[D = (-5)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-18) = 25 + 504 = 529\] \[x_1 = \frac{5 + \sqrt{529}}{14} = \frac{5 + 23}{14} = \frac{28}{14} = 2\] \[x_2 = \frac{5 - \sqrt{529}}{14} = \frac{5 - 23}{14} = \frac{-18}{14} = -\frac{9}{7}\] Находим соответствующие значения y: Если x = 2, то y = 7(2) - 5 = 14 - 5 = 9. Если x = -\frac{9}{7}, то y = 7(-\frac{9}{7}) - 5 = -9 - 5 = -14.

Ответ: (2; 9) и (-9/7; -14)

3. Решение задачи про теплоход

Пусть x - скорость теплохода в стоячей воде (км/ч). Тогда скорость по течению реки: x + 3 (км/ч). Скорость против течения реки: x - 3 (км/ч). Время, затраченное на путь по течению: \(\frac{54}{x+3}\) (ч). Время, затраченное на путь против течения: \(\frac{42}{x-3}\) (ч). Общее время в пути: 4 ч. Составляем уравнение: \[\frac{54}{x+3} + \frac{42}{x-3} = 4\] Умножаем обе части уравнения на (x+3)(x-3), чтобы избавиться от знаменателей: \[54(x-3) + 42(x+3) = 4(x^2 - 9)\] Раскрываем скобки: \[54x - 162 + 42x + 126 = 4x^2 - 36\] Приводим подобные слагаемые и переносим все в одну сторону: \[4x^2 - 96x + 0 = 0\] Делим обе части уравнения на 4: \[x^2 - 24x = 0\] Выносим x за скобки: \[x(x - 24) = 0\] Находим корни уравнения: x_1 = 0 x_2 = 24 Так как скорость не может быть равна 0, то скорость теплохода в стоячей воде равна 24 км/ч.

Ответ: 24 км/ч