Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВариант 1. Контрольная работа № 4» Квадратные уравнения» • 1 Определите, имеет ли корни уравнение 3x²-11x+7 = 0. • 2 Решите неполное квадратное уравнение: a) 4x²-20 = 0; 6) 2x + 8x² = 0. • 3 Решите уравнение: a) 2x²-x-3= 0; 6) x²-x = 2x - 5. 04 Квадратный трёхчлен x²-2x-15 разложите на множители, если это возможно. • 5 Решите задачу с помощью уравнения: •В прямоугольнике одна сторона на 4 см меньше другой, а его площадь равна 96 см². Найдите стороны прямоугольника». • 6 Составьте квадратное уравнение, имеющее корни, равные 2 и 1 2', и преобразуйте его так, чтобы все коэффициенты были целыми числами. • 7 Найдите все целые значения р, при которых уравнение имеет целые корни. • 8 Решите уравнение x² + px + 12 = 0 x⁴-3x²-4=0. Дополнительное задание *9 Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел на 91 больше их произведения. Найдите эти числа.
Ответ:
Решение задания №1
Для определения, имеет ли уравнение корни, нужно вычислить дискриминант D квадратного уравнения ax² + bx + c = 0, который определяется формулой D = b² - 4ac.
В данном случае a = 3, b = -11, c = 7. Подставим эти значения в формулу дискриминанта:
\[D = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 7 = 121 - 84 = 37\]Так как D > 0, уравнение имеет два различных действительных корня.
Ответ: уравнение имеет два различных корня.
Решение задания №2
a) 4x² - 20 = 0
Перенесем -20 в правую сторону:
\[4x^2 = 20\]Разделим обе части на 4:
\[x^2 = 5\]Извлечем квадратный корень из обеих частей:
\[x = \pm \sqrt{5}\]Ответ: x₁ = √5, x₂ = -√5
б) 2x + 8x² = 0
Вынесем общий множитель 2x за скобки:
\[2x(1 + 4x) = 0\]Приравняем каждый множитель к нулю:
\[2x = 0 \Rightarrow x = 0\] \[1 + 4x = 0 \Rightarrow 4x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{4}\]Ответ: x₁ = 0, x₂ = -1/4
Решение задания №3
a) 2x² - x - 3 = 0
Используем формулу дискриминанта D = b² - 4ac, где a = 2, b = -1, c = -3:
\[D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25\]Так как D > 0, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\] \[x_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\] \[x_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1\]Ответ: x₁ = 3/2, x₂ = -1
б) x² - x = 2x - 5
Преобразуем уравнение к стандартному виду:
\[x^2 - x - 2x + 5 = 0\] \[x^2 - 3x + 5 = 0\]Используем формулу дискриминанта D = b² - 4ac, где a = 1, b = -3, c = 5:
\[D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11\]Так как D < 0, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: уравнение не имеет действительных корней.
Решение задания №4
Квадратный трехчлен x² - 2x - 15 можно разложить на множители, если найти его корни. Решим уравнение x² - 2x - 15 = 0.
Используем формулу дискриминанта D = b² - 4ac, где a = 1, b = -2, c = -15:
\[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64\]Найдем корни:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\] \[x_1 = \frac{2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5\] \[x_2 = \frac{2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3\]Тогда разложение на множители имеет вид:
\[x^2 - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3)\]Ответ: (x - 5)(x + 3)
Решение задания №5
Пусть одна сторона прямоугольника равна x см, тогда другая сторона равна (x - 4) см. Площадь прямоугольника равна 96 см².
Составим уравнение:
\[x(x - 4) = 96\] \[x^2 - 4x - 96 = 0\]Решим квадратное уравнение. D = b² - 4ac, где a = 1, b = -4, c = -96:
\[D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 16 + 384 = 400\] \[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\] \[x_1 = \frac{4 + \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 20}{2} = \frac{24}{2} = 12\] \[x_2 = \frac{4 - \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 20}{2} = \frac{-16}{2} = -8\]Так как длина стороны не может быть отрицательной, выбираем x = 12.
Тогда другая сторона равна x - 4 = 12 - 4 = 8.
Ответ: стороны прямоугольника равны 12 см и 8 см.
Решение задания №6
Если уравнение имеет корни x₁ и x₂, то оно может быть представлено в виде:
\[(x - x_1)(x - x_2) = 0\]В данном случае x₁ = 2 и x₂ = -1/2. Подставим эти значения в уравнение:
\[(x - 2)(x + \frac{1}{2}) = 0\] \[x^2 + \frac{1}{2}x - 2x - 1 = 0\] \[x^2 - \frac{3}{2}x - 1 = 0\]Чтобы все коэффициенты были целыми числами, умножим обе части уравнения на 2:
\[2x^2 - 3x - 2 = 0\]Ответ: 2x² - 3x - 2 = 0
Решение задания №7
Для того чтобы уравнение x² + px + 12 = 0 имело целые корни, его дискриминант D должен быть полным квадратом, т.е. D = k², где k - целое число.
\[D = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = p^2 - 48\]Тогда уравнение принимает вид:
\[p^2 - 48 = k^2\] \[p^2 - k^2 = 48\] \[(p - k)(p + k) = 48\]Разложим 48 на множители:
48 = 1 * 48 = 2 * 24 = 3 * 16 = 4 * 12 = 6 * 8
Рассмотрим все возможные варианты:
- p - k = 1, p + k = 48. Тогда 2p = 49, p = 24.5 (не целое)
- p - k = 2, p + k = 24. Тогда 2p = 26, p = 13
- p - k = 3, p + k = 16. Тогда 2p = 19, p = 9.5 (не целое)
- p - k = 4, p + k = 12. Тогда 2p = 16, p = 8
- p - k = 6, p + k = 8. Тогда 2p = 14, p = 7
Возможны и отрицательные значения, поэтому p может быть также -13, -8, -7.
Ответ: p = -13, -8, -7, 7, 8, 13
Решение задания №8
Решим уравнение x⁴ - 3x² - 4 = 0. Введем замену y = x²:
\[y^2 - 3y - 4 = 0\]Найдем дискриминант: D = (-3)² - 4 * 1 * (-4) = 9 + 16 = 25
\[y_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4\] \[y_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{3 - 5}{2} = -1\]Теперь найдем x:
x² = 4 ⇒ x = ±2
x² = -1 ⇒ x = ±i (мнимые корни)
Ответ: x₁ = 2, x₂ = -2
Решение задания №9
Пусть два последовательных натуральных числа будут n и n + 1. Тогда сумма их квадратов равна n² + (n + 1)².
Произведение этих чисел равно n(n + 1). По условию, сумма квадратов на 91 больше их произведения:
\[n^2 + (n + 1)^2 = n(n + 1) + 91\] \[n^2 + n^2 + 2n + 1 = n^2 + n + 91\] \[2n^2 + 2n + 1 - n^2 - n - 91 = 0\] \[n^2 + n - 90 = 0\]Решим это квадратное уравнение. Дискриминант D = 1² - 4 * 1 * (-90) = 1 + 360 = 361
\[n = \frac{-1 \pm \sqrt{361}}{2}\] \[n_1 = \frac{-1 + 19}{2} = \frac{18}{2} = 9\] \[n_2 = \frac{-1 - 19}{2} = \frac{-20}{2} = -10\]Так как n должно быть натуральным числом, выбираем n = 9.
Тогда второе число равно n + 1 = 9 + 1 = 10.
Ответ: 9 и 10
Буду стараться и дальше помогать тебе в учебе! У тебя все получится!