Вариант 1 Контрольная работа № 1 Тема. Решение треугольников 1. Две стороны треугольника равны 4 см и 8 см, а угол между ними 60°. Найдите третью сторону треуголь ника и его площадь. 2. Два угла треугольника равны 30° и 135", а сторова, ле- жащая против меньшего из них, равна 4 см. Найдите сторону треугольника, лежащую против большего из данных углов. 3. Определите, остроугольным, прямоугольным или тупо- угольным является треугольник со сторонами 4 см, 5 см и 7 см. 4. Одва сторона треугольника на 2 см больше другой, а угол между ними равен 120. Найдите периметр тре- угольника, если его третья сторона равна 7 см. 5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник со сторопами 7 см, 15 см и 20 см. 6. Стороны треугольника равны 7 см, 11 см и 12 см. Най- дите медиану треугольника, проведённую к его боль шей стороне.

Решаю задачи по геометрии. 1. Шаг 1: Анализ условия и идентификация задачи. * Даны две стороны треугольника: $$a = 4$$ см, $$b = 8$$ см и угол между ними $$\gamma = 60^\circ$$. * Требуется найти третью сторону $$c$$ и площадь треугольника $$S$$. Шаг 2: Выбор методики и планирование решения. * Используем теорему косинусов для нахождения третьей стороны: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(\gamma)$$. * Используем формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними: $$S = \frac{1}{2}ab \cdot sin(\gamma)$$. Шаг 3: Пошаговое выполнение и форматирование. 1. Находим третью сторону $$c$$: $$c^2 = 4^2 + 8^2 - 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot cos(60^\circ) = 16 + 64 - 64 \cdot \frac{1}{2} = 80 - 32 = 48$$ $$c = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$$ см. 2. Находим площадь треугольника $$S$$: $$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 \cdot sin(60^\circ) = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$$ см$$^2$$. Шаг 4: Финальное оформление ответа. Третья сторона треугольника равна $$4\sqrt{3}$$ см, а площадь треугольника равна $$8\sqrt{3}$$ см$$^2$$. Ответ: Третья сторона: $$4\sqrt{3}$$ см, Площадь: $$8\sqrt{3}$$ см$$^2$$. 2. Шаг 1: Анализ условия и идентификация задачи. * Даны два угла треугольника: $$\alpha = 30^\circ$$ и $$\beta = 135^\circ$$. * Дана сторона, лежащая против меньшего из этих углов (против угла $$\alpha$$): $$a = 4$$ см. * Требуется найти сторону $$b$$, лежащую против большего из данных углов (против угла $$\beta$$). Шаг 2: Выбор методики и планирование решения. * Используем теорему синусов: $$\frac{a}{sin(\alpha)} = \frac{b}{sin(\beta)}$$. * Найдем угол $$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta = 180^\circ - 30^\circ - 135^\circ = 15^\circ$$. Шаг 3: Пошаговое выполнение и форматирование. 1. Находим сторону $$b$$: $$\frac{4}{sin(30^\circ)} = \frac{b}{sin(135^\circ)}$$ $$\frac{4}{\frac{1}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$ $$8 = \frac{2b}{\sqrt{2}}$$ $$b = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$$ см. Шаг 4: Финальное оформление ответа. Сторона треугольника, лежащая против большего из данных углов, равна $$4\sqrt{2}$$ см. Ответ: $$4\sqrt{2}$$ см. 3. Шаг 1: Анализ условия и идентификация задачи. * Даны стороны треугольника: $$a = 4$$ см, $$b = 5$$ см, $$c = 7$$ см. * Требуется определить, является ли треугольник остроугольным, прямоугольным или тупоугольным. Шаг 2: Выбор методики и планирование решения. * Используем теорему косинусов, чтобы найти наибольший угол. * Если наибольший угол меньше 90°, треугольник остроугольный. * Если наибольший угол равен 90°, треугольник прямоугольный. * Если наибольший угол больше 90°, треугольник тупоугольный. Шаг 3: Пошаговое выполнение и форматирование. 1. Находим наибольший угол (против наибольшей стороны): $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(\gamma)$$ $$7^2 = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot cos(\gamma)$$ $$49 = 16 + 25 - 40 \cdot cos(\gamma)$$ $$49 = 41 - 40 \cdot cos(\gamma)$$ $$8 = -40 \cdot cos(\gamma)$$ $$cos(\gamma) = -\frac{8}{40} = -\frac{1}{5} = -0.2$$ $$\gamma = arccos(-0.2) \approx 101.54^\circ$$ Так как угол больше 90 градусов, то треугольник тупоугольный. Шаг 4: Финальное оформление ответа. Треугольник является тупоугольным. Ответ: Тупоугольным. 4. Шаг 1: Анализ условия и идентификация задачи. * Одна сторона треугольника на 2 см больше другой: $$a = b + 2$$. * Угол между ними равен 120°: $$\gamma = 120^\circ$$. * Третья сторона равна 7 см: $$c = 7$$ см. * Требуется найти периметр треугольника. Шаг 2: Выбор методики и планирование решения. * Используем теорему косинусов: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(\gamma)$$. * Подставляем известные значения и решаем уравнение относительно $$b$$. * Находим $$a$$. * Находим периметр $$P = a + b + c$$. Шаг 3: Пошаговое выполнение и форматирование. 1. Подставляем известные значения в теорему косинусов: $$7^2 = (b+2)^2 + b^2 - 2(b+2)b \cdot cos(120^\circ)$$ $$49 = b^2 + 4b + 4 + b^2 - 2(b^2+2b) \cdot (-\frac{1}{2})$$ $$49 = 2b^2 + 4b + 4 + b^2 + 2b$$ $$49 = 3b^2 + 6b + 4$$ $$3b^2 + 6b - 45 = 0$$ $$b^2 + 2b - 15 = 0$$ Решаем квадратное уравнение: $$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$$ $$b_1 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ $$b_2 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 - 8}{2} = -5$$ (не подходит, так как сторона не может быть отрицательной). Итак, $$b = 3$$ см. 2. Находим сторону $$a$$: $$a = b + 2 = 3 + 2 = 5$$ см. 3. Находим периметр: $$P = a + b + c = 5 + 3 + 7 = 15$$ см. Шаг 4: Финальное оформление ответа. Периметр треугольника равен 15 см. Ответ: 15 см. 5. Шаг 1: Анализ условия и идентификация задачи. * Даны стороны треугольника: $$a = 7$$ см, $$b = 15$$ см, $$c = 20$$ см. * Требуется найти радиус вписанной окружности $$r$$. Шаг 2: Выбор методики и планирование решения. * Используем формулу для радиуса вписанной окружности: $$r = \frac{S}{p}$$, где $$S$$ - площадь треугольника, а $$p$$ - полупериметр. * Найдем полупериметр: $$p = \frac{a+b+c}{2}$$. * Найдем площадь треугольника по формуле Герона: $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$. Шаг 3: Пошаговое выполнение и форматирование. 1. Находим полупериметр: $$p = \frac{7+15+20}{2} = \frac{42}{2} = 21$$ см. 2. Находим площадь по формуле Герона: $$S = \sqrt{21(21-7)(21-15)(21-20)} = \sqrt{21 \cdot 14 \cdot 6 \cdot 1} = \sqrt{21 \cdot 84} = \sqrt{1764} = 42$$ см$$^2$$. 3. Находим радиус вписанной окружности: $$r = \frac{S}{p} = \frac{42}{21} = 2$$ см. Шаг 4: Финальное оформление ответа. Радиус вписанной окружности равен 2 см. Ответ: 2 см. 6. Шаг 1: Анализ условия и идентификация задачи. * Даны стороны треугольника: $$a = 7$$ см, $$b = 11$$ см, $$c = 12$$ см. * Требуется найти медиану, проведенную к большей стороне (то есть к стороне c). Шаг 2: Выбор методики и планирование решения. * Используем формулу для медианы, проведенной к стороне $$c$$: $$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$$. Шаг 3: Пошаговое выполнение и форматирование. 1. Подставляем известные значения в формулу: $$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 7^2 + 2 \cdot 11^2 - 12^2} = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 49 + 2 \cdot 121 - 144} = \frac{1}{2}\sqrt{98 + 242 - 144} = \frac{1}{2}\sqrt{196} = \frac{1}{2} \cdot 14 = 7$$ см. Шаг 4: Финальное оформление ответа. Медиана треугольника, проведенная к большей стороне, равна 7 см. Ответ: 7 см.