Вариант 1 Контрольная работа. Алгебра 9 класс (решение неравенств) Группа 1. Решите неравенства: a) > (4x7 6x 1, { 2x + 11 > 5x-4, 6) (5x+328x-3. 5x + 6 < x - 2. 2. Решите неравенства: a)x² + 4x - 5 < 0; 6) 3x² - 10x + 3 > 0; в) -4x² + 4x + 3 ≤ 0; r) 9x2 - 6x + 1 ≥0. - 5 <0; - - 3. Решите неравенство: x + 1 20; a) (x-3)(5x-4)(8-x) ≥ 0 ;б) (х+8)(3-x)(1,5-x)<0; в) 4(х+3) (x-2)>0; г) 3-х 4 6x + 2 д) х(х+4)(x-9) ≤ 0; e) >2. X

1. Решите неравенства:

a) $$\begin{cases} 2x + 11 > 5x - 4 \\ 5x + 6 < x - 2 \end{cases}$$ Решим первое неравенство системы: $$2x + 11 > 5x - 4$$ $$11 + 4 > 5x - 2x$$ $$15 > 3x$$ $$x < 5$$ Решим второе неравенство системы: $$5x + 6 < x - 2$$ $$5x - x < -2 - 6$$ $$4x < -8$$ $$x < -2$$ Объединим решения обоих неравенств: $$x < -2$$.

б) $$\begin{cases} 4x - 7 > 6x - 1 \\ 5x + 3 < 8x - 3 \end{cases}$$ Решим первое неравенство системы: $$4x - 7 > 6x - 1$$ $$-7 + 1 > 6x - 4x$$ $$-6 > 2x$$ $$x < -3$$ Решим второе неравенство системы: $$5x + 3 < 8x - 3$$ $$3 + 3 < 8x - 5x$$ $$6 < 3x$$ $$x > 2$$ Объединим решения обоих неравенств: решений нет, так как нет чисел, которые одновременно меньше -3 и больше 2.

Ответ: a) $$x < -2$$, б) нет решений

2. Решите неравенства:

а) $$x^2 + 4x - 5 < 0$$ Найдем корни квадратного уравнения $$x^2 + 4x - 5 = 0$$: $$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$$ $$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 6}{2} = 1$$ $$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 6}{2} = -5$$ Так как коэффициент при $$x^2$$ положителен, парабола направлена вверх, и решением неравенства $$x^2 + 4x - 5 < 0$$ является интервал между корнями: $$-5 < x < 1$$.

б) $$3x^2 - 10x + 3 > 0$$ Найдем корни квадратного уравнения $$3x^2 - 10x + 3 = 0$$: $$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$$ $$x_1 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = 3$$ $$x_2 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{1}{3}$$ Так как коэффициент при $$x^2$$ положителен, парабола направлена вверх, и решением неравенства $$3x^2 - 10x + 3 > 0$$ является объединение интервалов: $$x < \frac{1}{3}$$ или $$x > 3$$.

в) $$-4x^2 + 4x + 3 \le 0$$ Умножим обе части на -1, меняя знак неравенства: $$4x^2 - 4x - 3 \ge 0$$ Найдем корни квадратного уравнения $$4x^2 - 4x - 3 = 0$$: $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$$ $$x_1 = \frac{4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4 + 8}{8} = \frac{3}{2}$$ $$x_2 = \frac{4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4 - 8}{8} = -\frac{1}{2}$$ Так как коэффициент при $$x^2$$ положителен, парабола направлена вверх, и решением неравенства $$4x^2 - 4x - 3 \ge 0$$ является объединение интервалов: $$x \le -\frac{1}{2}$$ или $$x \ge \frac{3}{2}$$.

г) $$9x^2 - 6x + 1 \ge 0$$ $$(3x - 1)^2 \ge 0$$ Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому неравенство верно для всех x. $$x \in \mathbb{R}$$.

Ответ: a) $$-5 < x < 1$$, б) $$x < \frac{1}{3}$$ или $$x > 3$$, в) $$x \le -\frac{1}{2}$$ или $$x \ge \frac{3}{2}$$, г) $$x \in \mathbb{R}$$

3. Решите неравенство:

а) $$(x - 3)(5x - 4)(8 - x) \ge 0$$ Найдем нули функции: $$x = 3$$, $$x = \frac{4}{5}$$, $$x = 8$$. Отметим их на числовой прямой. Так как коэффициент при x в выражении (8-x) отрицателен, необходимо поменять знаки: -(x - 3)(5x - 4)(x - 8) ≤ 0 (x - 3)(5x - 4)(x - 8) ≥ 0

      +           -            +           -
---------------------------------------------------> x
      4/5          3            8

Решением неравенства будет объединение интервалов: $$\frac{4}{5} \le x \le 3$$ или $$x \ge 8$$.

б) $$(x + 8)(3 - x)(1.5 - x) < 0$$ Найдем нули функции: $$x = -8$$, $$x = 3$$, $$x = 1.5$$. Отметим их на числовой прямой. Так как коэффициент при x в выражениях (3-x) и (1.5 - x) отрицателен, необходимо поменять знаки: (x + 8)(x - 3)(x - 1.5) < 0

      -            +            -           +
---------------------------------------------------> x
     -8           1.5          3

Решением неравенства будет объединение интервалов: $$x < -8$$ или $$1.5 < x < 3$$.

в) $$4(x + 3)(x - 2) > 0$$ Найдем нули функции: $$x = -3$$, $$x = 2$$. Отметим их на числовой прямой.

      +            -            +
---------------------------------------------------> x
     -3            2

Решением неравенства будет объединение интервалов: $$x < -3$$ или $$x > 2$$.

г) $$\frac{x + 1}{3 - x} \ge 0$$ Найдем нули числителя: $$x = -1$$. Найдем нули знаменателя: $$x = 3$$. Отметим их на числовой прямой.

     -             +             -
---------------------------------------------------> x
    -1             3

Решением неравенства будет интервал: $$-1 \le x < 3$$.

д) $$x(x + 4)(x - 9) \le 0$$ Найдем нули функции: $$x = 0$$, $$x = -4$$, $$x = 9$$. Отметим их на числовой прямой.

      -             +            -           +
---------------------------------------------------> x
     -4            0            9

Решением неравенства будет объединение интервалов: $$x \le -4$$ или $$0 \le x \le 9$$.

e) $$\frac{6x + 2}{x} > 2$$ $$\frac{6x + 2}{x} - 2 > 0$$ $$\frac{6x + 2 - 2x}{x} > 0$$ $$\frac{4x + 2}{x} > 0$$ Найдем нули числителя: $$4x + 2 = 0$$ => $$x = -\frac{1}{2}$$. Найдем нули знаменателя: $$x = 0$$. Отметим их на числовой прямой.

     +            -            +
---------------------------------------------------> x
   -1/2            0

Решением неравенства будет объединение интервалов: $$x < -\frac{1}{2}$$ или $$x > 0$$.

Ответ: а) $$\frac{4}{5} \le x \le 3$$ или $$x \ge 8$$, б) $$x < -8$$ или $$1.5 < x < 3$$, в) $$x < -3$$ или $$x > 2$$, г) $$-1 \le x < 3$$, д) $$x \le -4$$ или $$0 \le x \le 9$$, e) $$x < -\frac{1}{2}$$ или $$x > 0$$