Вариант 2 Контрольная работа на все действия с обыкновенными дробями Задание №1. Решите уравнение: 5 12-(2+3):1-10 18 Задание №2. Найдите значение выражения: 2 3 +6: 94 :5 Задание №3. Через первую трубу бассейн наполняется за 12 часов, а через вторую - за 24 часа. За сколько часов наполнится бассейн, если открыть обе трубы одновременно? Задание №4. Собственая скорость теплохода 25 км/ч, а скорость течения реки 13 км/ч. Какое расстояние пройдёт теплоход, если он будет идти 3 часа по течению реки и 2 часа против течения? 1 2 1 Задание №5. Туристы прошли намеченный маршрут за три дня. В первый день они прошли всего пути, во второй день — остатка, после чего им осталось пройти еще 10 км. Какова длина всего пути?

Задание №1. Решите уравнение:

Нам дано уравнение:

\[12-\frac{5}{18} \cdot (x-3\frac{4}{9})\cdot 1\frac{1}{3} = 10\frac{1}{18}\]

Давай решим его по шагам:

1. Преобразуем смешанные дроби в неправильные:

\[3\frac{4}{9} = \frac{3\cdot 9 + 4}{9} = \frac{31}{9}\] \[1\frac{1}{3} = \frac{1\cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}\] \[10\frac{1}{18} = \frac{10\cdot 18 + 1}{18} = \frac{181}{18}\]

Теперь уравнение выглядит так:

\[12-\frac{5}{18} \cdot (x-\frac{31}{9})\cdot \frac{4}{3} = \frac{181}{18}\]

2. Упростим уравнение, перенеся 12 в правую часть:

\[-\frac{5}{18} \cdot (x-\frac{31}{9})\cdot \frac{4}{3} = \frac{181}{18} - 12\]

Приведем 12 к знаменателю 18:

\[12 = \frac{12\cdot 18}{18} = \frac{216}{18}\] \[-\frac{5}{18} \cdot (x-\frac{31}{9})\cdot \frac{4}{3} = \frac{181}{18} - \frac{216}{18}\] \[-\frac{5}{18} \cdot (x-\frac{31}{9})\cdot \frac{4}{3} = -\frac{35}{18}\]

3. Умножим обе части уравнения на -1, чтобы избавиться от минуса:

\[\frac{5}{18} \cdot (x-\frac{31}{9})\cdot \frac{4}{3} = \frac{35}{18}\]

4. Разделим обе части уравнения на \(\frac{5}{18}\):

\[(x-\frac{31}{9})\cdot \frac{4}{3} = \frac{35}{18} : \frac{5}{18}\] \[(x-\frac{31}{9})\cdot \frac{4}{3} = \frac{35}{18} \cdot \frac{18}{5}\] \[(x-\frac{31}{9})\cdot \frac{4}{3} = 7\]

5. Разделим обе части уравнения на \(\frac{4}{3}\):

\[x-\frac{31}{9} = 7 : \frac{4}{3}\] \[x-\frac{31}{9} = 7 \cdot \frac{3}{4}\] \[x-\frac{31}{9} = \frac{21}{4}\]

6. Прибавим \(\frac{31}{9}\) к обеим частям уравнения:

\[x = \frac{21}{4} + \frac{31}{9}\]

7. Приведем дроби к общему знаменателю (36):

\[x = \frac{21\cdot 9}{4\cdot 9} + \frac{31\cdot 4}{9\cdot 4}\] \[x = \frac{189}{36} + \frac{124}{36}\] \[x = \frac{313}{36}\]

8. Преобразуем неправильную дробь в смешанную:

\[x = 8\frac{25}{36}\]

Ответ: \[x = 8\frac{25}{36}\]

Молодец! У тебя отлично получилось решить это уравнение. Продолжай в том же духе, и ты сможешь справиться с любыми математическими задачами!

Задание №2. Найдите значение выражения:

Давай найдем значение выражения:

\[\left(1\frac{1}{3}\right)^2 - \frac{7}{9} + 6 : 1\frac{1}{4} - 3 \cdot 5\]

1. Преобразуем смешанные дроби в неправильные:

\[1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}\] \[1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}\]

Выражение теперь выглядит так:

\[\left(\frac{4}{3}\right)^2 - \frac{7}{9} + 6 : \frac{5}{4} - 3 \cdot 5\]

2. Возведем \(\frac{4}{3}\) в квадрат:

\[\left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{4^2}{3^2} = \frac{16}{9}\]

Выражение теперь выглядит так:

\[\frac{16}{9} - \frac{7}{9} + 6 : \frac{5}{4} - 3 \cdot 5\]

3. Выполним деление: \(6 : \frac{5}{4} = 6 \cdot \frac{4}{5}\)

\[6 \cdot \frac{4}{5} = \frac{6 \cdot 4}{5} = \frac{24}{5}\]

Выражение теперь выглядит так:

\[\frac{16}{9} - \frac{7}{9} + \frac{24}{5} - 3 \cdot 5\]

4. Выполним умножение: \(3 \cdot 5 = 15\)

\[\frac{16}{9} - \frac{7}{9} + \frac{24}{5} - 15\]

5. Выполним вычитание первых двух дробей:

\[\frac{16}{9} - \frac{7}{9} = \frac{16 - 7}{9} = \frac{9}{9} = 1\]

Выражение теперь выглядит так:

\[1 + \frac{24}{5} - 15\]

6. Сложим 1 и \(\frac{24}{5}\):

\[1 + \frac{24}{5} = \frac{5}{5} + \frac{24}{5} = \frac{29}{5}\]

Выражение теперь выглядит так:

\[\frac{29}{5} - 15\]

7. Вычтем 15:

\[\frac{29}{5} - 15 = \frac{29}{5} - \frac{15 \cdot 5}{5} = \frac{29}{5} - \frac{75}{5} = \frac{29 - 75}{5} = \frac{-46}{5}\]

8. Преобразуем неправильную дробь в смешанную:

\[\frac{-46}{5} = -9\frac{1}{5}\]

Ответ: \[-9\frac{1}{5}\]

Отлично! Ты хорошо справился с этим заданием. Не останавливайся на достигнутом, и у тебя все получится!

Задание №3.

Пусть первая труба наполняет бассейн за 12 часов, а вторая — за 24 часа. Нужно найти, за сколько часов наполнится бассейн, если открыть обе трубы одновременно.

1. Найдем, какую часть бассейна наполняет первая труба за 1 час:

\[\frac{1}{12}\]

2. Найдем, какую часть бассейна наполняет вторая труба за 1 час:

\[\frac{1}{24}\]

3. Найдем, какую часть бассейна наполняют обе трубы вместе за 1 час:

\[\frac{1}{12} + \frac{1}{24} = \frac{2}{24} + \frac{1}{24} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}\]

4. Найдем, за сколько часов обе трубы вместе наполнят весь бассейн:

\[1 : \frac{1}{8} = 8\]

Ответ: 8 часов

Замечательно! Ты отлично справился с этой задачей. Продолжай тренироваться, и у тебя все будет получаться еще лучше!

Задание №4.

Собственная скорость теплохода 25 \(\frac{1}{2}\) км/ч, скорость течения реки 1 \(\frac{3}{4}\) км/ч. Нужно найти расстояние, которое пройдет теплоход, если он будет идти 3 часа по течению реки и 2 часа против течения.

1. Найдем скорость теплохода по течению реки:

\[25\frac{1}{2} + 1\frac{3}{4} = \frac{51}{2} + \frac{7}{4} = \frac{102}{4} + \frac{7}{4} = \frac{109}{4}\]

2. Найдем расстояние, которое пройдет теплоход за 3 часа по течению:

\[\frac{109}{4} \cdot 3 = \frac{327}{4}\]

3. Найдем скорость теплохода против течения реки:

\[25\frac{1}{2} - 1\frac{3}{4} = \frac{51}{2} - \frac{7}{4} = \frac{102}{4} - \frac{7}{4} = \frac{95}{4}\]

4. Найдем расстояние, которое пройдет теплоход за 2 часа против течения:

\[\frac{95}{4} \cdot 2 = \frac{190}{4}\]

5. Найдем общее расстояние, которое пройдет теплоход:

\[\frac{327}{4} + \frac{190}{4} = \frac{517}{4} = 129\frac{1}{4}\]

Ответ: 129 \(\frac{1}{4}\) км

Прекрасно! У тебя получилось решить эту задачу. Не бойся сложных заданий, у тебя все получится!

Задание №5.

Туристы прошли намеченный маршрут за три дня. В первый день они прошли \(\frac{1}{3}\) всего пути, во второй день — \(\frac{1}{2}\) остатка, после чего им осталось пройти еще 10 км. Какова длина всего пути?

1. Пусть весь путь равен x. В первый день туристы прошли \(\frac{1}{3}x\).

2. Найдем, сколько пути осталось после первого дня:

\[x - \frac{1}{3}x = \frac{3}{3}x - \frac{1}{3}x = \frac{2}{3}x\]

3. Во второй день они прошли \(\frac{1}{2}\) остатка, то есть \(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}x = \frac{1}{3}x\).

4. После двух дней им осталось пройти 10 км. Значит:

\[x - \frac{1}{3}x - \frac{1}{3}x = 10\] \[\frac{3}{3}x - \frac{1}{3}x - \frac{1}{3}x = 10\] \[\frac{1}{3}x = 10\]

5. Найдем длину всего пути:

\[x = 10 \cdot 3 = 30\]

Ответ: 30 км

Молодец! Ты отлично справился с этой задачей. Продолжай учиться, и у тебя все получится!