Вариант МА80101. 1. Преобразуйте в многочлен стандартного вида: а) \((5+2x)(2x-5)+25\\); б) \(4(7-2a)-(a-4)^2\). 2. Разложите на множители: а) \(3xy+3x-4y-4\); б) \(49n^2-(3n+1)^2\). 3. Дана функция \(y=\frac{3}{4}x-5\). а) Найдите значение функции, соответствующее значению аргумента, равному \(-12\). б) Найдите значение аргумента, которому соответствует значение функции, равное \(-6\). 4. В сентябре 1 кг винограда стоил 60 рублей, а в октябре виноград подорожал на 25%, а в ноябре ещё на 20%. Сколько рублей стал 1 кг винограда после подорожания в ноябре? 5. Скорость катера в стоячей воде 15 км/ч. На путь от пристани A до пристани B по течению реки он затратил 3 ч, а на обратный путь — 4,5 ч. Какова скорость течения реки?

1а. Используем формулу разности квадратов:

\((5+2x)(2x-5)+25=(2x+5)(2x-5)+25=4x^2-25+25=4x^2\).

1б. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

\(4(7-2a)-(a-4)^2=28-8a-(a^2-8a+16)=12-a^2\).

2а. Сгруппируем слагаемые:

\(3xy+3x-4y-4=3x(y+1)-4(y+1)=(y+1)(3x-4)\).

2б. Представим выражение как разность квадратов:

\(49n^2-(3n+1)^2=(7n-3n-1)(7n+3n+1)=(4n-1)(10n+1)\).

3а. Подставим \(x=-12\):

\(y=\frac{3}{4}\cdot(-12)-5=-9-5=-14\).

3б. Приравняем формулу функции к \(-6\) и найдём аргумент:

\(\frac{3}{4}x-5=-6\), \(\frac{3}{4}x=-1\), \(x=-\frac{4}{3}\).

4. После октябрьского подорожания цена составила \(60\cdot1.25=75\) рублей. После ноябрьского подорожания: \(75\cdot1.20=90\) рублей.

Ответ: 1а) \(4x^2\); 1б) \(12-a^2\); 2а) \((y+1)(3x-4)\); 2б) \((4n-1)(10n+1)\); 3а) \(-14\); 3б) \(-\frac{4}{3}\); 4) 90 рублей.

5. Пусть скорость течения равна \(v\) км/ч, а расстояние между пристанями — \(S\) км. По течению скорость катера \(15+v\), против течения — \(15-v\). Время в пути даёт равенства:

\(S=3(15+v)\), \(S=4.5(15-v)\).

Приравняем выражения для расстояния:

\(45+3v=67.5-4.5v\), \(7.5v=22.5\), \(v=3\).

Ответ: скорость течения реки — 3 км/ч.