Вариант МА80102. 1. Преобразуйте в многочлен стандартного вида: а) \((3+4y)(4y-3)-16y^2\); б) \((b-6)(b-6)-(5-b)^2\). 2. Разложите на множители: а) \(4xy+8x-6y-12\); б) \(25m^2-(2m-1)^2\). 3. Дана функция \(y=\frac{2}{3}x+4\). а) Найдите значение функции, соответствующее значению аргумента, равному 18. б) Найдите значение аргумента, которому соответствует значение функции, равное 5. 4. В сентябре 1 кг груш стоил 50 рублей, в октябре груши подорожали на 15%, а в ноябре ещё на 20%. Сколько рублей стал 1 кг груш после подорожания в ноябре? 5. Скорость течения реки 5 км/ч. На путь от пристани A до пристани B по течению катер затратил 3 ч, а на обратный путь — 4,5 ч. Какова скорость катера в стоячей воде?

1а. Применим формулу разности квадратов:

\((3+4y)(4y-3)-16y^2=(4y+3)(4y-3)-16y^2=16y^2-9-16y^2=-9\).

1б. Возведём скобки в квадрат и вычтем:

\((b-6)^2-(5-b)^2=(b^2-12b+36)-(b^2-10b+25)=11-2b\).

2а. Сгруппируем слагаемые:

\(4xy+8x-6y-12=4x(y+2)-6(y+2)=(y+2)(4x-6)=2(y+2)(2x-3)\).

2б. Разность квадратов:

\(25m^2-(2m-1)^2=(5m-2m+1)(5m+2m-1)=(3m+1)(7m-1)\).

3а. Подставим \(x=18\):

\(y=\frac{2}{3}\cdot18+4=12+4=16\).

3б. Найдём аргумент из уравнения \(\frac{2}{3}x+4=5\):

\(\frac{2}{3}x=1\), поэтому \(x=\frac{3}{2}\).

4. После октябрьского подорожания цена равна \(50\cdot1.15=57.5\) рубля. После ноябрьского подорожания: \(57.5\cdot1.20=69\) рублей.

Ответ: 1а) \(-9\); 1б) \(11-2b\); 2а) \(2(y+2)(2x-3)\); 2б) \((3m+1)(7m-1)\); 3а) 16; 3б) \(\frac{3}{2}\); 4) 69 рублей.

5. Пусть скорость катера в стоячей воде равна \(u\) км/ч. Тогда скорости по течению и против течения равны \(u+5\) и \(u-5\). Путь одинаковый, поэтому:

\(3(u+5)=4.5(u-5)\).

Раскроем скобки и решим уравнение:

\(3u+15=4.5u-22.5\), \(37.5=1.5u\), \(u=25\).

Ответ: скорость катера в стоячей воде — 25 км/ч.