1 вариант 1) Могут ли синус и косинус одного и того же числа быть равными соответственно: 0,5 и 0,5. 2) Найдите значения других трех основных тригонометрических функций, если: √6 cosa= 4 π И -< α <π. 2

1)

Синус и косинус одного и того же числа не могут быть равны 0,5 одновременно. Это связано с основным тригонометрическим тождеством: sin²(α) + cos²(α) = 1. Если sin(α) = 0,5 и cos(α) = 0,5, то 0,5² + 0,5² = 0,25 + 0,25 = 0,5, что не равно 1. Следовательно, такое невозможно.

Ответ: Нет, синус и косинус одного и того же числа не могут быть равны 0,5.

2)

Дано: $$cos \alpha = -\frac{\sqrt{6}}{4}$$ и $$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$$.

Найти: sin α, tg α, ctg α.

Решение:

• Найдем sin α, используя основное тригонометрическое тождество: $$sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$$

  Подставим значение cos α:

  $$sin^2 \alpha + \left(-\frac{\sqrt{6}}{4}\right)^2 = 1$$

  $$sin^2 \alpha + \frac{6}{16} = 1$$

  $$sin^2 \alpha = 1 - \frac{6}{16} = \frac{16 - 6}{16} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}$$

  $$sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{5}{8}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{8}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{10}}{4}$$

  Так как $$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$$, то α находится во второй четверти, где синус положительный. Значит:

  $$sin \alpha = \frac{\sqrt{10}}{4}$$

• Найдем tg α, используя формулу: $$tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$$

  $$tg \alpha = \frac{\frac{\sqrt{10}}{4}}{-\frac{\sqrt{6}}{4}} = -\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{6}} = -\frac{\sqrt{15}}{3}$$

• Найдем ctg α, используя формулу: $$ctg \alpha = \frac{1}{tg \alpha}$$

  $$ctg \alpha = \frac{1}{-\frac{\sqrt{15}}{3}} = -\frac{3}{\sqrt{15}} = -\frac{\sqrt{15}}{5}$$

Ответ: $$sin \alpha = \frac{\sqrt{10}}{4}$$, $$tg \alpha = -\frac{\sqrt{15}}{3}$$, $$ctg \alpha = -\frac{\sqrt{15}}{5}$$