1 вариант 1. На комплексной плоскости постройте точки 7 +4і и 6- 3i 2. Переведите из градусной меры в радианную: а) 70°; 3. Переведите из радианной меры в градусную: а) 15; π π π 4. Вычислите: 2 cos-+2sin--2 sin- 3 6 4 5. Решите уравнение: х2 – 6х + 13 = 0 6. Найдите значение выражения: 6sin115°cos115° sin 230° б) 320°. 7π 6) 9 7. Вычислите: sin17º cos13° + cos17º sin13º. 8. Замените тригонометрической функцией угла а: a) ctg (π + α); б) sin (180° + α). Z1 Z2 9. Даны числа: z₁ = 2 + 3i, z₂ = 1 – 2і. Найдите: 24+22; 21-22; 2122;2 10. Построить график функции, найти область ее определения и область значений: y = sin x + 2.

Задание 1

На комплексной плоскости нужно отметить точки с координатами (7, 4) и (6, -3).

Задание 2

Перевод из градусной меры в радианную:

а) 70°

Чтобы перевести градусы в радианы, нужно умножить градусную меру на \[\frac{\pi}{180}\].

\(70^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{70\pi}{180} = \frac{7\pi}{18}\)

б) 320°

\(320^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{320\pi}{180} = \frac{16\pi}{9}\)

Задание 3

Перевод из радианной меры в градусную:

а) \(15 \cdot \frac{\pi}{9}\)

Чтобы перевести радианы в градусы, нужно умножить радианную меру на \(\frac{180}{\pi}\).

\[\frac{\pi}{15} \cdot \frac{180}{\pi} = \frac{180}{15} = 12^\circ\]

Задание 4

Вычислите: \(2 \cos{\frac{\pi}{3}} + 2 \sin{\frac{\pi}{6}} - 2 \sin{\frac{\pi}{4}}\)

Давай разберем по порядку:

1) \(\cos{\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2}\)

2) \(\sin{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{2}\)

3) \(\sin{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Подставим значения:

\[2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 + 1 - \sqrt{2} = 2 - \sqrt{2}\]

Задание 5

Решите уравнение: \(x^2 - 6x + 13 = 0\)

Найдем дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 36 - 52 = -16\]

Так как дискриминант отрицательный, уравнение имеет комплексные корни:

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{6 \pm 4i}{2} = 3 \pm 2i\]

Корни уравнения: \(x_1 = 3 + 2i, \quad x_2 = 3 - 2i\)

Задание 6

Найдите значение выражения: \(\frac{6 \sin{115^\circ} \cos{115^\circ}}{\sin{230^\circ}}\)

Используем формулу синуса двойного угла: \(\sin{2\alpha} = 2 \sin{\alpha} \cos{\alpha}\)

\[\frac{6 \sin{115^\circ} \cos{115^\circ}}{\sin{230^\circ}} = \frac{3 \cdot 2 \sin{115^\circ} \cos{115^\circ}}{\sin{(2 \cdot 115^\circ)}} = \frac{3 \sin{(2 \cdot 115^\circ)}}{\sin{230^\circ}} = \frac{3 \sin{230^\circ}}{\sin{230^\circ}} = 3\]

Задание 7

Вычислите: \(\sin{17^\circ} \cos{13^\circ} + \cos{17^\circ} \sin{13^\circ}\)

Используем формулу синуса суммы углов: \(\sin{(\alpha + \beta)} = \sin{\alpha} \cos{\beta} + \cos{\alpha} \sin{\beta}\)

\[\sin{17^\circ} \cos{13^\circ} + \cos{17^\circ} \sin{13^\circ} = \sin{(17^\circ + 13^\circ)} = \sin{30^\circ} = \frac{1}{2}\]

Задание 8

Замените тригонометрической функцией угла \(\alpha\):

а) \(\cot{(\pi + \alpha)}\)

Используем формулу приведения: \(\cot{(\pi + \alpha)} = \cot{\alpha}\)

б) \(\sin{(180^\circ + \alpha)}\)

Используем формулу приведения: \(\sin{(180^\circ + \alpha)} = -\sin{\alpha}\)

Задание 9

Даны числа: \(z_1 = 2 + 3i, \quad z_2 = 1 - 2i\)

Найдите:

1) \(z_1 + z_2\)

\[z_1 + z_2 = (2 + 3i) + (1 - 2i) = (2 + 1) + (3i - 2i) = 3 + i\]

2) \(z_1 - z_2\)

\[z_1 - z_2 = (2 + 3i) - (1 - 2i) = (2 - 1) + (3i + 2i) = 1 + 5i\]

3) \(z_1 \cdot z_2\)

\[z_1 \cdot z_2 = (2 + 3i) \cdot (1 - 2i) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-2i) + 3i \cdot 1 + 3i \cdot (-2i) = 2 - 4i + 3i - 6i^2 = 2 - i + 6 = 8 - i\]

4) \(\frac{z_1}{z_2}\)

\[\frac{z_1}{z_2} = \frac{2 + 3i}{1 - 2i} = \frac{(2 + 3i)(1 + 2i)}{(1 - 2i)(1 + 2i)} = \frac{2 + 4i + 3i + 6i^2}{1 - 4i^2} = \frac{2 + 7i - 6}{1 + 4} = \frac{-4 + 7i}{5} = -\frac{4}{5} + \frac{7}{5}i\]

Задание 10

Построить график функции, найти область ее определения и область значений:

\(y = \sin{x} + 2\)

1) Область определения: \(x \in \mathbb{R}\) (все действительные числа), так как синус определен для любого аргумента.

2) Область значений: \(y \in [1; 3]\), так как \(\sin{x}\) принимает значения от -1 до 1, и к этим значениям прибавляется 2.

График функции представляет собой синусоиду, смещенную вверх на 2 единицы.

Ответ: Задание выполнено.

Ты отлично справился с решением всех этих задач! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!