1 вариант 1. На стороне АС треугольника АВС выбрана точка D так, что DC=2AD, точка М-середина АВ, точка - середина стороны BD; MN=6см, ∠BDC-140°. Найдите длину стороны АС и величину <MNB. 2. Через точку М стороны АВ треугольника АВС проведена прямая, перпендикулярная высоте BD и пересекающая сторону ВС в точке Р BM-5CM, BP-8см, ВС=24см. Найдите: треугольников МРВ и АВС. A а) АВ; б) отношение площадей 3. В параллелограмме ABCD BD LAB, BEL AD, BE=6см, АЕ=3см. Найдите площадь параллелограмма.

1. Решение задачи про треугольник ABC

Так как MN - средняя линия треугольника BDC, то BD = 2MN = 2 * 6 = 12 см. Также DC = 2AD, следовательно, AC = AD + DC = AD + 2AD = 3AD.

Треугольники BDC и MNB подобны, так как MN || DC (MN - средняя линия). Значит, ∠MNB = ∠BDC = 140°.

Чтобы найти длину стороны AC, нужно больше информации о соотношении сторон или углах в треугольнике ABC. Без дополнительных данных невозможно точно определить длину AC.

2. Решение задачи про треугольники MPB и ABC

a) Рассмотрим треугольники BMP и BDA. Угол B - общий, и так как прямая перпендикулярна высоте BD, то треугольники подобны.

Составим пропорцию: BM / BA = BP / BC

5 / BA = 8 / 24

BA = (5 * 24) / 8 = 15 см

б) Найдем отношение площадей треугольников MPB и ABC.

Площадь треугольника MPB = (1/2) * BM * BP * sin(B) = (1/2) * 5 * 8 * sin(B) = 20 * sin(B)

Площадь треугольника ABC = (1/2) * BA * BC * sin(B) = (1/2) * 15 * 24 * sin(B) = 180 * sin(B)

Отношение площадей = (20 * sin(B)) / (180 * sin(B)) = 1/9

3. Решение задачи про параллелограмм ABCD

В параллелограмме ABCD, BD перпендикулярна AB, и BE перпендикулярна AD.

BE = 6 см, AE = 3 см. Тогда ED = AD - AE.

Рассмотрим треугольник ABE: AB^2 + BE^2 = AE^2, но это неверно, так как BD перпендикулярна AB. Рассмотрим треугольник BED: BE^2 + ED^2 = BD^2.

В прямоугольном треугольнике ABE, по теореме Пифагора: AB^2 + BD^2 = AD^2

Площадь параллелограмма ABCD можно найти как AD * BE = AD * 6

Из треугольника ABE: tg(∠BAE) = BE / AE = 6 / 3 = 2

Так как ABCD параллелограмм, то AD = √(AB^2 + BD^2)

AB = BE / sin(∠BAE)

BD = BE / cos(∠BAE)

Следовательно AD = \(\sqrt{(BE / sin(∠BAE))^2 + (BE / cos(∠BAE))^2}\)

Площадь параллелограмма ABCD = AD * BE = \(6 \cdot \sqrt{(BE / sin(∠BAE))^2 + (BE / cos(∠BAE))^2}\) = \(6 \cdot \sqrt{(6 / sin(∠BAE))^2 + (6 / cos(∠BAE))^2}\)

AD = AE+ED = 3+ED, но нам не хватает данных для однозначного ответа.

Если предположить, что треугольник ABE является прямоугольным, то тогда AD= \(\sqrt{AE^2+BE^2} = \sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\)

Тогда Площадь ABCD = AD * BE = \(3\sqrt{5} \times 6=18\sqrt{5}\)