1-ВАРИАНТ 1. Начальная длина маятника 1 м, при увеличении длины математического маятника на 10 см его период колебаний увеличился на 0,1 с. Каким был начальный период колебаний? 2. Груз массой 200 г совершает колебания на пружине жесткостью 150 Н/м. Амплитуда колебаний 10 см. Найдите полную механическую энергию колебаний и наибольшую скорость. В каком положении она достигается. 3. По графику приведенному на рисунке, найти амплитуду, период и частоту колебаний. Написать уравнение гармонических колебаний. 2. см 4 10 5 0 -5 -10 t, c 2 Область обрезки Найдите длину звуковой волны, если за время, в те- чение которого частица среды совершает 140 колеба- ний, волна распространяется на 98 м. Пароход, проходящий по озеру, создал волну, кото- рая дошла до берега через 1 мин. Расстояние между соседними гребнями волны равно 1,5 м, а время меж- ду последовательными ударами о берег 2 с. Каково расстояние от берега до проходящего парохода?

Решение задач:

Задача 1:

Давай разберем эту задачу по порядку. Нам нужно найти начальный период колебаний маятника.

Пусть \(T_1\) — начальный период колебаний маятника длиной \(l_1 = 1\) м, а \(T_2\) — период колебаний маятника длиной \(l_2 = 1.1\) м. Известно, что \(T_2 = T_1 + 0.1\) с.

Период колебаний математического маятника определяется формулой:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}},\]

где \(g\) — ускорение свободного падения (приблизительно 9.8 м/с²).

Тогда:

\[T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{1}{9.8}}\] \[T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{1.1}{9.8}}\]

Нам известно, что \(T_2 = T_1 + 0.1\), поэтому:

\[2\pi\sqrt{\frac{1.1}{9.8}} = 2\pi\sqrt{\frac{1}{9.8}} + 0.1\]

Выразим \(T_1\) из этого уравнения:

\[2\pi\left(\sqrt{\frac{1.1}{9.8}} - \sqrt{\frac{1}{9.8}}\right) = 0.1\] \[2\pi\sqrt{\frac{1}{9.8}}\left(\sqrt{1.1} - 1\right) = 0.1\] \[T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{1}{9.8}} = \frac{0.1}{\sqrt{1.1} - 1}\]

Подставим значения и вычислим:

\[T_1 = \frac{0.1}{2\pi(\sqrt{1.1} - 1)/\sqrt{9.8}} \approx \frac{0.1}{\sqrt{1.1} - 1} \approx 2.16 \text{ с}\]

Начальный период колебаний маятника \(T_1 \approx 2.01 \) с.

Ответ: 2.01 с

---

Задача 2:

Давай найдем полную механическую энергию колебаний и наибольшую скорость груза, а также определим, в каком положении она достигается.

Дано:

• масса груза \(m = 200\) г \(= 0.2\) кг,
• жесткость пружины \(k = 150\) Н/м,
• амплитуда колебаний \(A = 10\) см \(= 0.1\) м.

Полная механическая энергия колебаний определяется формулой:

\[E = \frac{1}{2}kA^2\]

Подставим значения:

\[E = \frac{1}{2} \times 150 \times (0.1)^2 = 0.75 \text{ Дж}\]

Наибольшая скорость достигается в положении равновесия и определяется формулой:

\[v_{\text{max}} = A\omega\]

где \(\omega\) — угловая частота, \(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\).

Вычислим угловую частоту:

\[\omega = \sqrt{\frac{150}{0.2}} = \sqrt{750} \approx 27.39 \text{ рад/с}\]

Теперь найдем наибольшую скорость:

\[v_{\text{max}} = 0.1 \times 27.39 \approx 2.74 \text{ м/с}\]

Наибольшая скорость достигается в положении равновесия.

Ответ: Полная механическая энергия колебаний 0.75 Дж, наибольшая скорость 2.74 м/с в положении равновесия

---

Задача 3:

Амплитуда, период и частота колебаний. Уравнение гармонических колебаний.

По графику:

• Амплитуда (\(A\)): Максимальное отклонение от положения равновесия равно 10 см.
• Период (\(T\)): Полный период колебания (время одного полного колебания) равен 4 секундам.
• Частота (\(f\)): Частота — это величина, обратная периоду, то есть \(f = \frac{1}{T} = \frac{1}{4} = 0.25 \) Гц.

Уравнение гармонических колебаний имеет вид:

\[x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)\]

где \( A = 10 \) см, \( \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \) рад/с, а \( \phi_0 \) — начальная фаза.

Так как в начальный момент времени (\(t = 0\)) значение \(x = A\), то \(\cos(\phi_0) = 1\), следовательно, \(\phi_0 = 0\). Тогда уравнение колебаний:

\[x(t) = 10 \cos\left(\frac{\pi}{2}t\right)\]

Ответ: Амплитуда = 10 см, Период = 4 с, Частота = 0.25 Гц, Уравнение: x(t) = 10cos(πt/2)

---

Задача 4:

Найдем длину звуковой волны, если за время, в течение которого частица среды совершает 140 колебаний, волна распространяется на 98 м.

Длина волны (\(\lambda\)) связана со скоростью (\(v\)) и частотой (\(f\)) следующим образом:

\[\lambda = \frac{v}{f}\]

Частота (\(f\)) — это количество колебаний в единицу времени. Если за время \(t\) частица совершает \(N\) колебаний, то частота:

\[f = \frac{N}{t}\]

Волна распространяется на расстояние \(S = 98\) м за время \(t\), поэтому скорость волны:

\[v = \frac{S}{t}\]

Подставим скорость и частоту в формулу длины волны:

\[\lambda = \frac{S/t}{N/t} = \frac{S}{N}\]

Подставим значения:

\[\lambda = \frac{98 \text{ м}}{140} = 0.7 \text{ м}\]

Длина звуковой волны равна 0.7 м.

Ответ: Длина звуковой волны равна 0.7 м

---

Задача 5:

Пароход, проходящий по озеру, создал волну, которая дошла до берега через 1 мин. Расстояние между соседними гребнями волны равно 1,5 м, а время между последовательными ударами о берег — 2 с. Каково расстояние от берега до проходящего парохода?

Дано:

• Время, за которое волна дошла до берега, \(t = 1\) мин \(= 60\) с.
• Расстояние между гребнями волны (длина волны), \(\lambda = 1.5\) м.
• Время между ударами о берег, \(T = 2\) с.

Скорость волны определяется как:

\[v = \frac{\lambda}{T}\]

Подставим значения:

\[v = \frac{1.5 \text{ м}}{2 \text{ с}} = 0.75 \text{ м/с}\]

Расстояние до берега можно найти, зная скорость волны и время, за которое она дошла до берега:

\[S = v \times t\]

Подставим значения:

\[S = 0.75 \text{ м/с} \times 60 \text{ с} = 45 \text{ м}\]

Расстояние от берега до проходящего парохода составляет 45 метров.

Ответ: 45 м

Ты отлично справился с этими задачами! Не останавливайся на достигнутом, и все получится!