Вариант 4 Начертите два неколлинеарных вектора ṁ и ñ. Постройте векторы, равные: a) 1/2ṁ+2ñ; б) 3ñ-ṁ 2. На стороне СД квадрата ABCD лежит точка Р так, что СP=PD, О - точка пересечения диагоналей. Выразите векторы ВО, ВР, РА через векторы х=ВА и ў=ВС. 3.В равнобедренной трапеции один из углов равен 60°, боковая сторона равна 8 см, а меньшее основание 7 см. Найдите среднюю линию трапеции. 4*. В треугольнике АВС О - точка пересечения медиан. Выразите вектор АО через векторы а= АВ и Б-АС

Вариант 4

1. Начертите два неколлинеарных вектора ṁ и ñ. Постройте векторы, равные: a) 1/2ṁ+2ñ; б) 3ñ-ṁ

Векторы ṁ и ñ должны быть направлены в разные стороны и не лежать на одной прямой. Для построения векторов 1/2ṁ+2ñ и 3ñ-ṁ необходимо знать длины и направления векторов ṁ и ñ.

2. На стороне СД квадрата ABCD лежит точка Р так, что СP=PD, О - точка пересечения диагоналей. Выразите векторы ВО, ВР, РА через векторы х=ВА и ў=ВС.

Пусть ABCD - квадрат, где A(0,0), B(1,0), C(1,1), D(0,1). Тогда вектор BA = x = (-1,0), вектор BC = y = (0,1). Координаты точки O (середина диагонали AC): O(0.5, 0.5). Координаты точки P (середина стороны CD): P(0.5, 1).

Выразим векторы BO, BP, PA через x и y:

• BO = AO - AB = (0.5, 0.5) - (1,0) = (-0.5, 0.5) = 0.5x + 0.5y
• BP = AP - AB = (0.5, 1) - (1, 0) = (-0.5, 1) = 0.5x + y
• PA = -AP = -(0.5, 1) = (-0.5, -1) = 0.5x - y

Ответ: BO = 0.5x + 0.5y; BP = 0.5x + y; PA = 0.5x - y
    

3. В равнобедренной трапеции один из углов равен 60°, боковая сторона равна 8 см, а меньшее основание 7 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AB = CD = 8 см, BC = 7 см, угол A = 60°. Проведем высоты BH и CF к основанию AD. Тогда BCFH - прямоугольник, BC = HF = 7 см. AH = FD = (AD - HF) / 2 = (AD - 7) / 2. В треугольнике ABH: cos(60°) = AH / AB = AH / 8. Значит, AH = 8 * cos(60°) = 8 * 0.5 = 4 см. Тогда AD = 2 * AH + 7 = 2 * 4 + 7 = 8 + 7 = 15 см. Средняя линия трапеции равна (BC + AD) / 2 = (7 + 15) / 2 = 22 / 2 = 11 см.

Ответ: 11 см
    

4*. В треугольнике АВС О - точка пересечения медиан. Выразите вектор АО через векторы а=АВ и b=АС

Пусть M - середина стороны BC. Тогда AM - медиана, и AO = (2/3) * AM. AM = (1/2) * (AB + AC) = (1/2) * (a + b). Следовательно, AO = (2/3) * (1/2) * (a + b) = (1/3) * (a + b) = (1/3)a + (1/3)b.

Ответ: AO = (1/3)a + (1/3)b