Вариант 1 Наклонная образует с плоскостью угол 300. Найдите длину её проекции на эту плоскость, если длина наклонной равна 4 см. Найдите угол между наклонной и плоскостью, к которой она проведена, если длина наклонной равна 6 см, а длина её проекции на эту плоскость – 3 см. Через центр О правильного треугольника АВС со стороной 9 см проведён перпендикуляр ОМ к его плоскости длиной 3 см. Найдите угол между прямой МА и плоскостью треугольника. Из точки D к плоскости а провели наклонные DK и DB, образующие с ней углы 450 и 600 соответственно. Найдите проекцию наклонной DK на плоскость а, если DB = 10√3 см. Точка А находится на расстоянии 9 см от плоскости а. Наклонные АВ и АС образуют с плоскостью а углы 450 и 600, а угол между проекциями наклонных равен 1500. Найдите расстояние между точками В и С.

Решение:

1. Пусть дана наклонная длиной \( l = 4 \) см, образующая с плоскостью угол \( \alpha = 30^\circ \). Нужно найти длину проекции этой наклонной на плоскость. Длина проекции \( x \) вычисляется по формуле: \[ x = l \cdot \cos(\alpha) \] Подставляем значения: \[ x = 4 \cdot \cos(30^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \] Таким образом, длина проекции равна \( 2\sqrt{3} \) см. 2. Пусть дана наклонная длиной \( l = 6 \) см, длина её проекции на плоскость равна \( x = 3 \) см. Нужно найти угол \( \alpha \) между наклонной и плоскостью. Косинус угла между наклонной и плоскостью равен отношению длины проекции к длине наклонной: \[ \cos(\alpha) = \frac{x}{l} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \] Угол, косинус которого равен \( \frac{1}{2} \), равен 60 градусам: \[ \alpha = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ \] Таким образом, угол между наклонной и плоскостью равен \( 60^\circ \). 3. Через центр \( O \) правильного треугольника \( ABC \) со стороной 9 см проведён перпендикуляр \( OM \) к его плоскости длиной 3 см. Нужно найти угол между прямой \( MA \) и плоскостью треугольника. \( OA = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3} \), где \( a = 9 \) см. \[ OA = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3} \] Рассмотрим прямоугольный треугольник \( OMA \). \( OM = 3 \) см. \( OA = 3\sqrt{3} \) см. Тангенс угла \( \angle MAO \) (между прямой \( MA \) и плоскостью треугольника) равен отношению \( OM \) к \( OA \): \[ \tan(\angle MAO) = \frac{OM}{OA} = \frac{3}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \] Угол, тангенс которого равен \( \frac{\sqrt{3}}{3} \), равен 30 градусам. \[ \angle MAO = \arctan(\frac{\sqrt{3}}{3}) = 30^\circ \] Таким образом, угол между прямой \( MA \) и плоскостью треугольника равен \( 30^\circ \). 4. Из точки \( D \) к плоскости \( a \) проведены наклонные \( DK \) и \( DB \), образующие с ней углы \( 45^\circ \) и \( 60^\circ \) соответственно. Нужно найти проекцию наклонной \( DK \) на плоскость \( a \), если \( DB = 10\sqrt{3} \) см. Обозначим проекции наклонных \( DK \) и \( DB \) на плоскость \( a \) как \( OK \) и \( OB \) соответственно. \[ OK = DK \cdot \cos(45^\circ) \] \[ OB = DB \cdot \cos(60^\circ) \] \[ OB = 10\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 5\sqrt{3} \] \( DK \) и \( DB \) образуют с плоскостью углы \( 45^\circ \) и \( 60^\circ \) соответственно. Пусть \( DO \) перпендикуляр к плоскости \( a \). \[ DO = DK \cdot \sin(45^\circ) = DB \cdot \sin(60^\circ) \] \[ DK \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ DK = \frac{10\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{30}{\sqrt{2}} = 15\sqrt{2} \] Тогда проекция \( DK \) на плоскость \( a \) равна: \[ OK = DK \cdot \cos(45^\circ) = 15\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 15 \] Таким образом, проекция наклонной \( DK \) на плоскость \( a \) равна 15 см. 5. Точка \( A \) находится на расстоянии 9 см от плоскости \( a \). Наклонные \( AB \) и \( AC \) образуют с плоскостью \( a \) углы \( 45^\circ \) и \( 60^\circ \), а угол между проекциями наклонных равен \( 150^\circ \). Нужно найти расстояние между точками \( B \) и \( C \). Пусть \( B' \) и \( C' \) - проекции точек \( B \) и \( C \) на плоскость \( a \). Тогда \( AB' = \frac{AA'}{\tan(45^\circ)} = \frac{9}{1} = 9 \) см и \( AC' = \frac{AA'}{\tan(60^\circ)} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} \) см. Угол \( \angle B'AC' = 150^\circ \). Применим теорему косинусов для треугольника \( B'AC' \): \[ B'C'^2 = AB'^2 + AC'^2 - 2 \cdot AB' \cdot AC' \cdot \cos(150^\circ) \] \[ B'C'^2 = 9^2 + (3\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 9 \cdot 3\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \] \[ B'C'^2 = 81 + 27 + 27 \cdot 3 = 108 + 81 = 189 \] \[ B'C' = \sqrt{189} = 3\sqrt{21} \] Так как \( BB' = CC' = 9 \), \( BB' \perp a \) и \( CC' \perp a \), то \( BB' \parallel CC' \), и точки \( B \), \( C \), \( B' \), \( C' \) лежат в одной плоскости. Тогда \( BC = B'C' = 3\sqrt{21} \) см.

Ответ: 1) \( 2\sqrt{3} \) см; 2) \( 60^\circ \); 3) \( 30^\circ \); 4) 15 см; 5) \( 3\sqrt{21} \) см