Вариант 1 1.Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны 25 см и 60 см. 2.Сторона ромба равна 10 см, а одна из его диагоналей - 16 см. Найдите вторую диагональ. 3. В равнобедренном треугольнике основание равно 24 см, высота, проведенная к основанию, равна 16 см. Найдите боковую сторону. 4. Диагонали ромба равны 12 см и 16 см. Найдите площадь и периметр ромба. 5.В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 13 см, а высота, проведенная к основанию 5 см. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

1. 1. Найдем гипотенузу прямоугольного треугольника, используя теорему Пифагора:

   $$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$, где a и b - катеты, c - гипотенуза.

   В нашем случае a = 25 см, b = 60 см.

   $$c = \sqrt{25^2 + 60^2} = \sqrt{625 + 3600} = \sqrt{4225} = 65 \text{ см}$$.

2. 2. Найдем вторую диагональ ромба. Обозначим сторону ромба как a, диагонали как d1 и d2. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам в точке пересечения. Тогда половина каждой диагонали и сторона ромба образуют прямоугольный треугольник.

   $$(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2$$

   В нашем случае a = 10 см, d1 = 16 см.

   $$(\frac{16}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = 10^2$$

   $$8^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = 100$$

   $$64 + (\frac{d_2}{2})^2 = 100$$

   $$(\frac{d_2}{2})^2 = 36$$

   $$\frac{d_2}{2} = 6$$

   $$d_2 = 12 \text{ см}$$.

3. 3. Найдем боковую сторону равнобедренного треугольника. Пусть основание равно a = 24 см, высота h = 16 см. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является также медианой. Поэтому она делит основание пополам.

   $$b = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + h^2}$$, где b - боковая сторона.

   $$b = \sqrt{(\frac{24}{2})^2 + 16^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \text{ см}$$.

4. 4. Найдем площадь и периметр ромба. Диагонали ромба d1 = 12 см, d2 = 16 см.

   Площадь ромба $$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 6 \cdot 16 = 96 \text{ см}^2$$.

   Чтобы найти периметр, нужно знать сторону ромба. Найдем ее через половинки диагоналей:

   $$a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$$.

   Периметр $$P = 4a = 4 \cdot 10 = 40 \text{ см}$$.

5. 5. Найдем площадь равнобедренного треугольника. Боковая сторона b = 13 см, высота, проведенная к основанию h = 5 см. Нужно найти основание.

   $$(\frac{a}{2})^2 = b^2 - h^2$$

   $$(\frac{a}{2})^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$$

   $$\frac{a}{2} = 12 \Rightarrow a = 24 \text{ см}$$.

   Площадь $$S = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 5 = 12 \cdot 5 = 60 \text{ см}^2$$.

Ответ: 1. 65 см; 2. 12 см; 3. 20 см; 4. 96 см^2, 40 см; 5. 60 см^2